№3404

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{x^{2}-x-2}\) на отрезке \([3;5]\)

Ответ

2

Решение № 3404:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \) на отрезке \([3; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x - 2} \right) \] <li> Используем правило дифференцирования корня: </li> \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - x - 2) \] <li> Найдем производную внутренней функции: </li> \[ \frac{d}{dx} (x^2 - x - 2) = 2x - 1 \] <li> Подставим в формулу производной корня: </li> \[ y' = \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} = 0 \] <li> Решим уравнение: </li> \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([3; 5]\): </li> \[ x = \frac{1}{2} \text{ не попадает в отрезок } [3; 5] \] <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y(3) = \sqrt{3^2 - 3 - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{5^2 - 5 - 2} = \sqrt{25 - 5 - 2} = \sqrt{18} \approx 4.24 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> \[ \text{Наименьшее значение: } y(3) = 2 \] </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( 2 \)