№6961

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-3x^{3}-9x^{2}+3\) на отрезке \([-1;1]\)

Ответ

\underset{[-1;1]}{max} y(x)=3; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-9

Решение № 6961:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -3x^3 - 9x^2 + 3 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^3 - 9x^2 + 3) = -9x^2 - 18x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -9x^2 - 18x = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ -9x(x + 2) = 0 \] <li> Получаем два корня: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\): Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\), а точка \( x = 0 \) попадает. </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-1) = -3(-1)^3 - 9(-1)^2 + 3 = 3 - 9 + 3 = -3 \] \[ y(0) = -3(0)^3 - 9(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -3(1)^3 - 9(1)^2 + 3 = -3 - 9 + 3 = -9 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-1) = -3 \] \[ y(0) = 3 \] \[ y(1) = -9 \] </li> <li> Наибольшее значение: \( y(0) = 3 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y(1) = -9 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 3 \) <br> Наименьшее значение: \( -9 \)