№7275

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=2(3+2x)^{1/4}+3^{-x}\frac{2}{ln3}, x_{0}=-1\)

Ответ

-5

Решение № 7275:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 2(3 + 2x)^{1/4} + 3^{-x}\frac{2}{\ln 3} \) в точке \( x_0 = -1 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2(3 + 2x)^{1/4} + 3^{-x}\frac{2}{\ln 3}\right) \] <li> Рассмотрим каждую часть функции отдельно и найдем их производные: </li> \[ \frac{d}{dx}\left(2(3 + 2x)^{1/4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4}(3 + 2x)^{-3/4} \cdot 2 = (3 + 2x)^{-3/4} \] \[ \frac{d}{dx}\left(3^{-x}\frac{2}{\ln 3}\right) = \frac{2}{\ln 3} \cdot \frac{d}{dx}(3^{-x}) = \frac{2}{\ln 3} \cdot (-\ln 3) \cdot 3^{-x} = -2 \cdot 3^{-x} \] <li> Соединим производные обеих частей: </li> \[ f'(x) = (3 + 2x)^{-3/4} - 2 \cdot 3^{-x} \] <li> Подставим \( x_0 = -1 \) в найденную производную: </li> \[ f'(-1) = (3 + 2(-1))^{-3/4} - 2 \cdot 3^{-(-1)} \] \[ f'(-1) = (3 - 2)^{-3/4} - 2 \cdot 3^1 \] \[ f'(-1) = 1^{-3/4} - 2 \cdot 3 \] \[ f'(-1) = 1 - 6 \] \[ f'(-1) = -5 \] </ol> Ответ: <br> Производная функции в точке \( x_0 = -1 \) равна \( -5 \).