№6959

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=2\sqrt{x}-x\) на отрезке \([0;9]\)

Ответ

\underset{[0;9]}{max} y(x)=1; \underset{[0;9]}{min} y(x)=-3

Решение № 6959:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) на отрезке \([0; 9]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 9]\): </li> Критическая точка \( x = 1 \) попадает в отрезок \([0; 9]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0 \] \[ y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \] \[ y(9) = 2\sqrt{9} - 9 = 2 \cdot 3 - 9 = 6 - 9 = -3 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(1) = 1 \) Наименьшее значение: \( y(9) = -3 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 1 \) <br> Наименьшее значение: \( -3 \)