№7306

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее значение функций\(y=|\sqrt{6x-x^{2}-5}-3|+\sqrt{6x-x^{2}-5} +x^{3}-6x^{2}\)

Ответ

-2

Решение № 7306:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Она зависит от выражения под корнем \( \sqrt{6x - x^2 - 5} \). </li> \[ 6x - x^2 - 5 \geq 0 \] <li> Решим неравенство: </li> \[ -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \] <li> Приведем квадратное уравнение к стандартному виду: \[ x^2 - 6x + 5 \leq 0 \] </li> <li> Решим квадратное уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \): </li> \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] <li> Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \] </li> <li> Область допустимых значений: \[ 1 \leq x \leq 5 \] </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \] </li> <li> Рассмотрим два случая для \( |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| \): </li> <li> Случай 1: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 \geq 0 \) \[ y = \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2 \] </li> <li> Случай 2: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 < 0 \) \[ y = -(\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3) + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 3 + x^3 - 6x^2 \] </li> <li> Найдем производную для первого случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x \] </li> <li> Найдем производную для второго случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 3x^2 - 12x \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для обоих случаев. </li> <li> Для первого случая: \[ \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = 0 \] </li> <li> Для второго случая: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] \[ 3x(x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \( 1 \leq x \leq 5 \): Точка \( x = 0 \) не попадает в ОДЗ, а точка \( x = 4 \) попадает. </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(1) = |\sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} + 1^3 - 6 \cdot 1^2 = |0 - 3| + 0 + 1 - 6 = 3 + 0 + 1 - 6 = -2 \] \[ y(4) = |\sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} + 4^3 - 6 \cdot 4^2 = |0 - 3| + 0 + 64 - 96 = 3 + 0 + 64 - 96 = -29 \] \[ y(5) = |\sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} + 5^3 - 6 \cdot 5^2 = |0 - 3| + 0 + 125 - 150 = 3 + 0 + 125 - 150 = -22 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ \text{Наибольшее значение: } y(1) = -2 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( -2 \)