№3426

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=-x^{2}+7|x|-12\) на отрезке \([-4;3]\)

Ответ

0.25

Решение № 3426:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \). Для этого разделим функцию на два случая в зависимости от знака \( x \): </li> <ul> <li> Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \): \[ y = -x^2 + 7x - 12 \] </li> <li> Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \): \[ y = -x^2 - 7x - 12 \] </li> </ul> </li> <li> Найдем производные функций для каждого случая: </li> <ul> <li> Для \( x \geq 0 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 7x - 12) = -2x + 7 \] </li> <li> Для \( x < 0 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 7x - 12) = -2x - 7 \] </li> </ul> </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): </li> <ul> <li> Для \( x \geq 0 \): \[ -2x + 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} \] </li> <li> Для \( x < 0 \): \[ -2x - 7 = 0 \implies -2x = 7 \implies x = -\frac{7}{2} \] </li> </ul> </li> <li> Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-4; 3]\): </li> <ul> <li> \( x = \frac{7}{2} \) не попадает в отрезок \([-4; 3]\). </li> <li> \( x = -\frac{7}{2} \) попадает в отрезок \([-4; 3]\). </li> </ul> </li> <li> Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> <ul> <li> Для \( x = -4 \): \[ y(-4) = -(-4)^2 - 7(-4) - 12 = -16 + 28 - 12 = 0 \] </li> <li> Для \( x = -\frac{7}{2} \): \[ y\left(-\frac{7}{2}\right) = -\left(-\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{7}{2}\right) - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{98}{4} - \frac{48}{4} = \frac{1}{4} \] </li> <li> Для \( x = 3 \): \[ y(3) = -3^2 + 7(3) - 12 = -9 + 21 - 12 = 0 \] </li> </ul> </li> <li> Сравним полученные значения и определим наибольшее значение функции на отрезке: </li> <ul> <li> \( y(-4) = 0 \) </li> <li> \( y\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{4} \) </li> <li> \( y(3) = 0 \) </li> </ul> </li> <li> Наибольшее значение функции на отрезке \([-4; 3]\) равно \( \frac{1}{4} \). </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{1}{4} \)