№7302

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=-x^{2}+4|x+1|-6\) на отрезке \([-2;1]\)

Ответ

-7

Решение № 7302:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотреть функцию \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на двух интервалах: \([-2; -1]\) и \([-1; 1]\), так как модуль \( |x+1| \) изменяет своё значение в точке \( x = -1 \). </li> <li> На интервале \([-2; -1]\): \[ |x+1| = -(x+1) \] Таким образом, функция примет вид: \[ y = -x^2 + 4(-(x+1)) - 6 = -x^2 - 4(x+1) - 6 = -x^2 - 4x - 4 - 6 = -x^2 - 4x - 10 \] </li> <li> Найти производную функции \( y \) на интервале \([-2; -1]\): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 4x - 10) = -2x - 4 \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ -2x - 4 = 0 \implies -2x = 4 \implies x = -2 \] </li> <li> Вычислить значение функции в критической точке \( x = -2 \) и на концах отрезка \([-2; -1]\): \[ y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6 \] \[ y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) - 10 = -1 + 4 - 10 = -7 \] </li> <li> На интервале \([-1; 1]\): \[ |x+1| = x+1 \] Таким образом, функция примет вид: \[ y = -x^2 + 4(x+1) - 6 = -x^2 + 4x + 4 - 6 = -x^2 + 4x - 2 \] </li> <li> Найти производную функции \( y \) на интервале \([-1; 1]\): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 2) = -2x + 4 \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ -2x + 4 = 0 \implies -2x = -4 \implies x = 2 \] </li> <li> Критическая точка \( x = 2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\). </li> <li> Вычислить значение функции на концах отрезка \([-1; 1]\): \[ y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7 \] \[ y(1) = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\): \[ y(-2) = -6, \quad y(-1) = -7, \quad y(1) = 1 \] </li> <li> Наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\) достигается в точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = -7 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( -7 \)