№6967

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-x^{4}+2x^{2}+3\) на отрезке \([-2;2]\)

Ответ

\underset{[-2;2]}{max} y(x)=4; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-5

Решение № 6967:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -4x^3 + 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ 4x(1 - x^2) = 0 \] <li> Разделить уравнение на два уравнения: </li> \[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0 \] <li> Решить уравнения относительно \( x \): </li> \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] <li> Полученные критические точки: </li> \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \] \[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <br> Наибольшее значение: \( y(-1) = 4 \) и \( y(1) = 4 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-2) = -5 \) и \( y(2) = -5 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 4 \) <br> Наименьшее значение: \( -5 \)