№6960

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+1\) на отрезке \([-1;1]\)

Ответ

\underset{[-1;1]}{max} y(x)=1; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-\frac{1}{6}

Решение № 6960:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = x^2 - 3x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ x^2 - 3x = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x(x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 3 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\): </li> \[ x = 0 \text{ попадает в отрезок } [-1; 1] \] \[ x = 3 \text{ не попадает в отрезок } [-1; 1] \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{7}{6} \] \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1 \] \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{6} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = 1 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(-1) = -\frac{7}{6} \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 1 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{7}{6} \)