№3412

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\frac{2}{1+\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}\) на отрезке \(\left [0;\frac{\pi }{2} \right ]\)

Ответ

\frac{2}{1+\sqrt{2}}

Решение № 3412:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Исследовать поведение функции \( y \) на заданном отрезке. </li> <li> Рассмотрим функцию \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \). </li> <li> Определим диапазон значений \( x + \frac{\pi}{4} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] \] </li> <li> Найдем диапазон значений \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) на этом интервале: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right); \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right] \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] </li> <li> Таким образом, \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) принимает значения в диапазоне: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right] \] </li> <li> Теперь найдем диапазон значений \( 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \): \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 + \sqrt{2} \cdot 1\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + 1; 1 + \sqrt{2}\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[2; 1 + \sqrt{2}\right] \] </li> <li> Теперь найдем диапазон значений функции \( y \): \[ y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; \frac{2}{2}\right] \] \[ y \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; 1\right] \] </li> <li> Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ y_{\min} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \] </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение функции: \( \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \)