№6958

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=x+\frac{4}{(x-2)^{2}}\) на отрезке \([0;5]\)

Ответ

\underset{[0;5]}{max} y(x) не существует; \underset{[0;5]}{max} y(x) ; \underset{[0;5]}{min} y(x)=1

Решение № 6958:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x + \frac{4}{(x-2)^2} \) на отрезке \([0; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot (-2) \cdot (x-2)^{-3} \cdot \frac{d}{dx} (x-2) \] \[ y' = 1 - 8 \cdot (x-2)^{-3} \] \[ y' = 1 - \frac{8}{(x-2)^3} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 1 - \frac{8}{(x-2)^3} = 0 \] \[ \frac{8}{(x-2)^3} = 1 \] \[ (x-2)^3 = 8 \] \[ x-2 = 2 \] \[ x = 4 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 5]\): </li> Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([0; 5]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = 0 + \frac{4}{(0-2)^2} = 0 + \frac{4}{4} = 1 \] \[ y(4) = 4 + \frac{4}{(4-2)^2} = 4 + \frac{4}{4} = 5 \] \[ y(5) = 5 + \frac{4}{(5-2)^2} = 5 + \frac{4}{9} = 5 + \frac{4}{9} = 5.444\ldots \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ y(0) = 1 \] \[ y(4) = 5 \] \[ y(5) = 5.444\ldots \] </li> <li> Наибольшее значение: \( y(5) = 5.444\ldots \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y(0) = 1 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 5.444\ldots \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \)