№7276

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{100-x^{2}}\) на отрезке \([-6;8]\)

Ответ

6

Решение № 7276:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{100 - x^2} \) на отрезке \([-6; 8]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию: </li> \[ y = \sqrt{100 - x^2} \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{100 - x^2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \] \[ -x = 0 \implies x = 0 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-6; 8]\): </li> Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-6; 8]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] \[ y(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ y(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> Наименьшее значение: \( y(8) = 6 \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( 6 \)