№3411

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=cos3x-15cosx+8\) на отрезке \(\left [ \frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right ]\)

Ответ

-0.5

Решение № 3411:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15 \cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} (\cos(3x) - 15 \cos(x) + 8) \] \[ y' = -3 \sin(3x) \cdot 3 + 15 \sin(x) \] \[ y' = -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \] <li> Приравнять уравнение к нулю и решить его: </li> \[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \] \[ 9 \sin(3x) = 15 \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{15}{9} \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{5}{3} \sin(x) \] <li> Использовать формулу для синуса тройного угла: </li> \[ \sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \] \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \] <li> Решить уравнение относительно \( \sin(x) \): </li> \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \] \[ 3 \sin(x) - \frac{5}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \left(3 - \frac{5}{3}\right) \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \frac{4}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) = 3 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) (1 - 3 \sin^2(x)) = 0 \] <li> Решить уравнение: </li> \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 3 \sin^2(x) = 0 \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin^2(x) = \frac{1}{3} \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] <li> Найти соответствующие значения \( x \) в пределах отрезка \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\): </li> \[ \sin(x) = 0 \implies x = \pi \] \[ \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} \] \[ \sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{5\pi}{6} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5 \] \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - 15 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + 8 = \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) - 15 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 8 = 0 + \frac{15\sqrt{3}}{2} + 8 \] \[ y(\pi) = \cos(3\pi) - 15 \cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( -0.5 \)