№3421

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\frac{1}{ln2}(2^{x}+2^{-x})\) на отрезке \([-1;2]\)

Ответ

17/(4ln2)

Решение № 3421:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right) \] <li> Применим правило производной суммы и цепного правила: </li> \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right) \] <li> Найдем производные каждого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2 \] \[ \frac{d}{dx}(2^{-x}) = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2 \] <li> Подставим производные обратно в выражение для \( y' \): </li> \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right) \] \[ y' = 2^x - 2^{-x} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2^x - 2^{-x} = 0 \] <li> Решим уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2^x = 2^{-x} \] <li> Подставим \( u = 2^x \): </li> \[ u = \frac{1}{u} \] \[ u^2 = 1 \] \[ u = \pm 1 \] <li> Так как \( u = 2^x > 0 \), то \( u = 1 \): </li> \[ 2^x = 1 \implies x = 0 \] <li> Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 0 \) в отрезок \([-1; 2]\): </li> Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \approx 3.608 \] \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885 \] \[ y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \approx 5.983 \] <li> Наибольшее значение: \( y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{17}{4 \ln 2} \)