№13255

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{2}{x-1}+\frac{x}{2}\) на отрезке \(\left [ 0;\frac{1}{1000} \right ]\)

Ответ

\underset{[0;\frac{5}{2}]}{max} y(x)=\frac{31}{12}; \underset{[0;\frac{5}{2}]}{min} y(x)=-2

Решение № 13253:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{2}{x-1} + \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \frac{1}{1000}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1} + \frac{x}{2}\right) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) \] \[ y' = -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} = 0 \] \[ -\frac{2}{(x-1)^2} = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \] \[ (x-1)^2 = 4 \] \[ x-1 = \pm 2 \] \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\): </li> Критические точки \( x = 3 \) и \( x = -1 \) не попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \frac{2}{0-1} + \frac{0}{2} = -2 \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000}-1} + \frac{\frac{1}{1000}}{2} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000} - \frac{1000}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{-\frac{999}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2 \cdot 1000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.002 + 0.0005 = -2.0015 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(0) = -2 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.0015 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( -2 \) <br> Наименьшее значение: \( -2.0015 \)