№7307

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее значение функций\(y=|6-\sqrt{20-5x^{2}}|+x^{2}-4x^{3}+\sqrt{20-5x^{2}}\)

Ответ

42

Решение № 7307:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно: </li> \[ 20 - 5x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 \] <li> Упростить функцию, учитывая область допустимых значений: </li> \[ y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \] <li> Рассмотрим два случая для модуля: </li> <li> Случай 1: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} \geq 0 \): </li> \[ y = 6 - \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = 6 + x^2 - 4x^3 \] </li> <li> Случай 2: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} < 0 \): </li> \[ y = -(6 - \sqrt{20 - 5x^2}) + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 \] </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6 + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 \] \[ y' = \frac{d}{dx}(-6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 + \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) \] \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{20 - 5x^2}} \cdot (-10x) = -\frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ y' = 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \] \[ x(2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}}) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \] <li> Решить уравнение \( 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \): </li> \[ 2 - 12x = \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ \sqrt{20 - 5x^2}(2 - 12x) = 10 \] \[ 2\sqrt{20 - 5x^2} - 12x\sqrt{20 - 5x^2} = 10 \] \[ \sqrt{20 - 5x^2} = \frac{10}{2 - 12x} \] \[ 20 - 5x^2 = \left(\frac{10}{2 - 12x}\right)^2 \] \[ 20 - 5x^2 = \frac{100}{(2 - 12x)^2} \] \[ (20 - 5x^2)(2 - 12x)^2 = 100 \] \[ 400 - 200x^2 = 100 \] \[ 300 = 200x^2 \] \[ x^2 = \frac{3}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\): </li> \[ x = 0, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] Все критические точки попадают в отрезок \([-2; 2]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 5(-2)^2}| + (-2)^2 - 4(-2)^3 + \sqrt{20 - 5(-2)^2} \] \[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 + 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 + 32 = 42 \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 5(2)^2}| + (2)^2 - 4(2)^3 + \sqrt{20 - 5(2)^2} \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 - 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 - 32 = -22 \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20 - 5(0)^2}| + (0)^2 - 4(0)^3 + \sqrt{20 - 5(0)^2} \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20}| + 0 + \sqrt{20} = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{\frac{25}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3\sqrt{2}}{4}) + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (-\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} + 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(-2) = 42 \] \[ y(2) = -22 \] \[ y(0) = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] <li> Наибольшее значение: \( y(-2) = 42 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 42 \)