Решение №3098: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right) \] Используем правило произведения: \[ y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)' \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0 \] Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \): \[ 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\): Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = 0 \]
6. Наибольшее значение: \( 0 \)
7. Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)

Ответ: \underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}

Решение №6959: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) на отрезке \([0; 9]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 9]\):
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в отрезок \([0; 9]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0 \] \[ y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \] \[ y(9) = 2\sqrt{9} - 9 = 2 \cdot 3 - 9 = 6 - 9 = -3 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = 1 \) Наименьшее значение: \( y(9) = -3 \)

Ответ: \underset{[0;9]}{max} y(x)=1; \underset{[0;9]}{min} y(x)=-3

Решение №7276: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{100 - x^2} \) на отрезке \([-6; 8]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию:
\[ y = \sqrt{100 - x^2} \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{100 - x^2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \] \[ -x = 0 \implies x = 0 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-6; 8]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-6; 8]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] \[ y(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ y(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y(8) = 6 \)

Ответ: 6

Решение №7291: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2x-1}} \) на отрезке \([\frac{3}{4}; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) = \frac{(2x)(2x-1) - x^2(2)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2x-1)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если: \[ 2x(x-1) = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) не попадает в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\), а точка \( x = 1 \) попадает.
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{3}{2} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 2}{1}} = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{\frac{1^2}{2 \cdot 1 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{2^2}{2 \cdot 2 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \] Сравним значения: \[ \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \approx 1.067 \] \[ \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \] Наибольшее значение: \( y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \)

Ответ: \underset{[\frac{3}{4};2]}{max} y(x)=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}; \underset{[\frac{3}{4};2]}{min} y(x)=1

Решение №7306: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Она зависит от выражения под корнем \( \sqrt{6x - x^2 - 5} \).
\[ 6x - x^2 - 5 \geq 0 \]
2. Решим неравенство:
\[ -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \]
3. Приведем квадратное уравнение к стандартному виду: \[ x^2 - 6x + 5 \leq 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \]
5. Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]
6. Область допустимых значений: \[ 1 \leq x \leq 5 \]
7. Найти производную функции \( y \):
\[ y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \]
8. Рассмотрим два случая для \( |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| \):
9. Случай 1: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 \geq 0 \) \[ y = \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2 \]
10. Случай 2: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 < 0 \) \[ y = -(\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3) + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 3 + x^3 - 6x^2 \]
11. Найдем производную для первого случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x \]
12. Найдем производную для второго случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 3x^2 - 12x \]
13. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для обоих случаев.
14. Для первого случая: \[ \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = 0 \]
15. Для второго случая: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] \[ 3x(x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
16. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \( 1 \leq x \leq 5 \): Точка \( x = 0 \) не попадает в ОДЗ, а точка \( x = 4 \) попадает.
17. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(1) = |\sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} + 1^3 - 6 \cdot 1^2 = |0 - 3| + 0 + 1 - 6 = 3 + 0 + 1 - 6 = -2 \] \[ y(4) = |\sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} + 4^3 - 6 \cdot 4^2 = |0 - 3| + 0 + 64 - 96 = 3 + 0 + 64 - 96 = -29 \] \[ y(5) = |\sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} + 5^3 - 6 \cdot 5^2 = |0 - 3| + 0 + 125 - 150 = 3 + 0 + 125 - 150 = -22 \]
18. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ \text{Наибольшее значение: } y(1) = -2 \]

Ответ: -2

Решение №7307: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно:
\[ 20 - 5x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 \]
2. Упростить функцию, учитывая область допустимых значений:
\[ y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \]
3. Рассмотрим два случая для модуля:
4. Случай 1: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} \geq 0 \):
\[ y = 6 - \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = 6 + x^2 - 4x^3 \]
5. Случай 2: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} < 0 \):
\[ y = -(6 - \sqrt{20 - 5x^2}) + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 \]
6. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 \] \[ y' = \frac{d}{dx}(-6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 + \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) \] \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{20 - 5x^2}} \cdot (-10x) = -\frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ y' = 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \]
7. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \] \[ x(2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}}) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \]
8. Решить уравнение \( 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \):
\[ 2 - 12x = \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ \sqrt{20 - 5x^2}(2 - 12x) = 10 \] \[ 2\sqrt{20 - 5x^2} - 12x\sqrt{20 - 5x^2} = 10 \] \[ \sqrt{20 - 5x^2} = \frac{10}{2 - 12x} \] \[ 20 - 5x^2 = \left(\frac{10}{2 - 12x}\right)^2 \] \[ 20 - 5x^2 = \frac{100}{(2 - 12x)^2} \] \[ (20 - 5x^2)(2 - 12x)^2 = 100 \] \[ 400 - 200x^2 = 100 \] \[ 300 = 200x^2 \] \[ x^2 = \frac{3}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]
9. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\):
\[ x = 0, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] Все критические точки попадают в отрезок \([-2; 2]\).
10. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 5(-2)^2}| + (-2)^2 - 4(-2)^3 + \sqrt{20 - 5(-2)^2} \] \[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 + 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 + 32 = 42 \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 5(2)^2}| + (2)^2 - 4(2)^3 + \sqrt{20 - 5(2)^2} \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 - 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 - 32 = -22 \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20 - 5(0)^2}| + (0)^2 - 4(0)^3 + \sqrt{20 - 5(0)^2} \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20}| + 0 + \sqrt{20} = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{\frac{25}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3\sqrt{2}}{4}) + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (-\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} + 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \]
11. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(-2) = 42 \] \[ y(2) = -22 \] \[ y(0) = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \]
12. Наибольшее значение: \( y(-2) = 42 \)

Ответ: 42

Решение №13578: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^2 - 6x + 10 - 9\sqrt[3]{(x-3)^4} + 27\sqrt[3]{(x-3)^2} \) на отрезке \([-5; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^2 - 6x + 10 - 9\sqrt[3]{(x-3)^4} + 27\sqrt[3]{(x-3)^2}\right) \] Рассмотрим каждую часть производной отдельно: \[ \frac{d}{dx}\left(x^2 - 6x + 10\right) = 2x - 6 \] \[ \frac{d}{dx}\left(-9\sqrt[3]{(x-3)^4}\right) = -9 \cdot \frac{4}{3}(x-3)^{1/3} = -12(x-3)^{1/3} \] \[ \frac{d}{dx}\left(27\sqrt[3]{(x-3)^2}\right) = 27 \cdot \frac{2}{3}(x-3)^{-1/3} = 18(x-3)^{-1/3} \] Таким образом, производная функции \( y \): \[ y' = 2x - 6 - 12(x-3)^{1/3} + 18(x-3)^{-1/3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 6 - 12(x-3)^{1/3} + 18(x-3)^{-1/3} = 0 \] Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому можно воспользоваться численными методами или графическим анализом для нахождения критических точек.
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-5; 4]\):
Для этого нужно найти точки, где производная меняет знак, или использовать численные методы для поиска корней уравнения.
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-5) = (-5)^2 - 6(-5) + 10 - 9\sqrt[3]{(-5-3)^4} + 27\sqrt[3]{(-5-3)^2} \] \[ y(4) = 4^2 - 6(4) + 10 - 9\sqrt[3]{(4-3)^4} + 27\sqrt[3]{(4-3)^2} \] Для критических точек, найденных на предыдущем шаге, также вычислим значения функции.
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Сравнив все значения функции в критических точках и на концах отрезка, найдем минимальное значение.

Ответ: 1

Решение №13589: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \) на отрезке \([3; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x - 2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot (2x - 1) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot (2x - 1) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( 2x - 1 = 0 \): \[ 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] Однако, \( x = \frac{1}{2} \) не принадлежит отрезку \([3; 5]\), поэтому критических точек внутри отрезка нет.
3. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y(3) = \sqrt{3^2 - 3 - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{5^2 - 5 - 2} = \sqrt{25 - 5 - 2} = \sqrt{18} \]
4. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(3) = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{18} \] Поскольку \( \sqrt{18} > 2 \), наибольшее значение функции на отрезке \([3; 5]\) достигается в точке \( x = 5 \).

Ответ: \underset{[3;5]}{max} y(x)=3\sqrt{2}; \underset{[3;5]}{min} y(x)=2

Решение №43620: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить выражение под корнем:
\[ y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \]
Используем тригонометрическую формулу: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]
Подставим это в наше выражение: \[ y = \sqrt{1 + 2\cos^2(x) - 1} = \sqrt{2\cos^2(x)} \]
Упростим: \[ y = \sqrt{2} \cdot |\cos(x)| \]
2. Определить диапазон значений \( \cos(x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):

На отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) функция \( \cos(x) \) принимает значения от 0 до 1.
3. Определить диапазон значений \( |\cos(x)| \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):

Так как \( |\cos(x)| \) всегда неотрицательно, на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) \( |\cos(x)| \) принимает значения от 0 до 1.
4. Определить диапазон значений \( y \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):

Так как \( y = \sqrt{2} \cdot |\cos(x)| \), то \( y \) принимает значения от \( \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \) до \( \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \).
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \)
Наименьшее значение: \( 0 \)

Ответ: \(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=0\).

Решение №43621: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить диапазон значений функции \(\sin(2x)\) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\).
2. \(\sin(2x)\) принимает значения в диапазоне \([-1; 1]\).
3. На отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) аргумент \(2x\) изменяется от \(0\) до \(\pi\).
4. Найти минимальное значение \(\sin(2x)\):
\[ \sin(2x) \text{ минимально, когда } 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ \sin(0) = 0 \]
5. Найти максимальное значение \(\sin(2x)\):
\[ \sin(2x) \text{ максимально, когда } 2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]
6. Найти минимальное значение функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \):
\[ y_{\min} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \]
7. Найти максимальное значение функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \):
\[ y_{\max} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
   Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \)
   Наименьшее значение: \( 1 \)

Ответ: \(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=-1\).

Решение №43622: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \) на отрезке \([0; \pi]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить диапазон значений функции \( \sin(2x) \) на отрезке \([0; \pi]\):
\[ \sin(2x) \text{ принимает значения от } -1 \text{ до } 1. \]
2. Определить диапазон значений выражения \( 1 + \sin(2x) \):
\[ 1 + \sin(2x) \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } 2. \]
3. Определить диапазон значений функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \):
\[ y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \text{ принимает значения от } \sqrt{0} = 0 \text{ до } \sqrt{2}. \]
4. Найти значения \( x \), при которых функция принимает минимальное и максимальное значения:
• Минимальное значение \( y \):
\[ \sin(2x) = -1 \implies 1 + \sin(2x) = 0 \implies y = \sqrt{0} = 0. \] Это происходит, когда \( 2x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{4} \).
• Максимальное значение \( y \):
\[ \sin(2x) = 1 \implies 1 + \sin(2x) = 2 \implies y = \sqrt{2}. \] Это происходит, когда \( 2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} \).
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y = \sqrt{2} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y = 0 \]

Ответ: \(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=0\).

Решение №43623: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изучить функцию \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \): \[ y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \] Функция \( \cos(2x) \) имеет период \( \pi \), и на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\) она принимает значения от \(-1\) до \(1\).
2. Определить диапазон значений \( \cos(2x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\): \[ \cos(2x) \text{ принимает значения от } -1 \text{ до } 1 \]
3. Определить диапазон значений \( 1 + \cos(2x) \): \[ 1 + \cos(2x) \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } 2 \]
4. Определить диапазон значений \( \sqrt{1 + \cos(2x)} \): \[ \sqrt{1 + \cos(2x)} \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } \sqrt{2} \]
5. Найти значения функции \( y \) на концах отрезка \([- \frac{\pi}{2}; 0]\): \[ y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{1 + \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2}))} = \sqrt{1 + \cos(-\pi)} = \sqrt{1 - 1} = 0 \] \[ y(0) = \sqrt{1 + \cos(2 \cdot 0)} = \sqrt{1 + \cos(0)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = \sqrt{2} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \]

Ответ: \(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=0\).

Решение №43683: Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x - 2\sqrt{x} \) на промежутке \([0; +\infty)\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x - 2\sqrt{x}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} \implies \]
4. \[ \sqrt{x} = 1 \implies \]
5. \[ x = 1 \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \([0; +\infty)\):
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в промежуток \([0; +\infty)\).
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка:
\[ y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0 \] \[ y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1 \]
8. Исследовать поведение функции на границах промежутка:
\[ \lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = +\infty \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
\[ \text{Наибольшее значение: } +\infty \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -1 \]

Ответ: \(y_{наиб}=не существует\),\(y_{наим}=-1\).

Решение №43689: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{2x + 6} - x \) на промежутке \([3; +\infty)\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x + 6} - x \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \(\sqrt{u}\) и линейной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} \cdot 2 - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1 - \sqrt{2x + 6}}{\sqrt{2x + 6}} = 0 \] Равенство достигается, когда: \[ 1 - \sqrt{2x + 6} = 0 \implies \sqrt{2x + 6} = 1 \] Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 2x + 6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \] Эта точка не попадает в промежуток \([3; +\infty)\).
3. Исследовать знак производной на промежутке \([3; +\infty)\):
\[ y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 \] Для \( x \geq 3 \): \[ \sqrt{2x + 6} \geq \sqrt{2 \cdot 3 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} > 1 \] Следовательно: \[ \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} < 1 \implies y' < 0 \] Так как производная отрицательна на всем промежутке \([3; +\infty)\), функция убывает на этом промежутке.
4. Вычислить значения функции \( y \) на концах промежутка:
\[ y(3) = \sqrt{2 \cdot 3 + 6} - 3 = \sqrt{12} - 3 = 2\sqrt{3} - 3 \] Так как функция убывает на всем промежутке \([3; +\infty)\), наибольшее значение функции на этом промежутке будет в точке \( x = 3 \): \[ y(3) = 2\sqrt{3} - 3 \] Наименьшее значение функции на этом промежутке будет стремиться к \( -\infty \), так как функция убывает и не имеет минимума на \([3; +\infty)\).

Ответ: \(y_{наиб}=3,5\),\(y_{наим}=не существует\).

Решение №43696: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(x-1)(10-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
\[ (x-1)(10-x) \geq 0 \] Это условие выполняется, когда \( 1 \leq x \leq 10 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(x-1)(10-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-1)(10-x)} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} \cdot \frac{d}{dx} ((x-1)(10-x)) \] \[ \frac{d}{dx} ((x-1)(10-x)) = (10-x) + (x-1)(-1) = 10 - x - x + 1 = 11 - 2x \] \[ y' = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{11 - 2x}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} = 0 \] \[ 11 - 2x = 0 \] \[ 2x = 11 \] \[ x = \frac{11}{2} \]
4. Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ:
\[ x = \frac{11}{2} = 5.5 \] Критическая точка \( x = 5.5 \) попадает в ОДЗ \( [1, 10] \).
5. Вычислить значение функции \( y \) в критической точке:
\[ y(5.5) = \sqrt{(5.5-1)(10-5.5)} = \sqrt{(4.5)(4.5)} = \sqrt{20.25} = 4.5 \]
6. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка ОДЗ:
\[ y(1) = \sqrt{(1-1)(10-1)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(10) = \sqrt{(10-1)(10-10)} = \sqrt{0} = 0 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(1) = 0, \quad y(10) = 0, \quad y(5.5) = 4.5 \] Наибольшее значение функции: \( y(5.5) = 4.5 \).

Ответ: 5.5

Решение №43697: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(x+2)(4-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
\[ (x+2)(4-x) \geq 0 \] Это неравенство выполняется, когда: \[ -2 \leq x \leq 4 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(x+2)(4-x)} \] Воспользуемся правилом производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x+2)(4-x)}} \cdot \left( (x+2)(4-x) \right)' \] Найдем производную внутренней функции: \[ \left( (x+2)(4-x) \right)' = (x+2)' \cdot (4-x) + (x+2) \cdot (4-x)' \] \[ = 1 \cdot (4-x) + (x+2) \cdot (-1) \] \[ = 4 - x - x - 2 = 2 - 2x \] Таким образом, производная функции \( y \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x+2)(4-x)}} \cdot (2 - 2x) \] \[ y' = \frac{1 - x}{\sqrt{(x+2)(4-x)}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1 - x}{\sqrt{(x+2)(4-x)}} = 0 \] Это уравнение выполняется, когда: \[ 1 - x = 0 \implies x = 1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в ОДЗ \([-2; 4]\).
5. Вычислить значение функции \( y \) в критической точке:
\[ y(1) = \sqrt{(1+2)(4-1)} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3 \]
6. Проверить значения функции на концах отрезка ОДЗ:
\[ y(-2) = \sqrt{(-2+2)(4+2)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(4) = \sqrt{(4+2)(4-4)} = \sqrt{0} = 0 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = 3 \)

Ответ: 1

Решение №43698: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
\[ (2x-6)(7-x) \geq 0 \] Решим неравенство: \[ 2x - 6 \geq 0 \quad \text{и} \quad 7 - x \geq 0 \] \[ x \geq 3 \quad \text{и} \quad x \leq 7 \] Таким образом, ОДЗ: \[ 3 \leq x \leq 7 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(2x-6)(7-x)} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (2x-6)(7-x) \right) \] Найдем производную подкоренного выражения: \[ \frac{d}{dx} \left( (2x-6)(7-x) \right) = (2x-6)' (7-x) + (2x-6) (7-x)' \] \[ = 2(7-x) + (2x-6)(-1) \] \[ = 14 - 2x - 2x + 6 \] \[ = 20 - 4x \] Таким образом: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \cdot (20 - 4x) \] \[ y' = \frac{20 - 4x}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{20 - 4x}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} = 0 \] \[ 20 - 4x = 0 \] \[ 4x = 20 \] \[ x = 5 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
Критическая точка \( x = 5 \) попадает в ОДЗ \( 3 \leq x \leq 7 \).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(3) = \sqrt{(2 \cdot 3 - 6)(7 - 3)} = \sqrt{(6 - 6)(4)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(5) = \sqrt{(2 \cdot 5 - 6)(7 - 5)} = \sqrt{(10 - 6)(2)} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ y(7) = \sqrt{(2 \cdot 7 - 6)(7 - 7)} = \sqrt{(14 - 6)(0)} = \sqrt{0} = 0 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(5) = 2\sqrt{2} \)

Ответ: 5

Решение №43699: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(5-x)(x-3)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ (5-x)(x-3) \geq 0 \]
2. Решим неравенство:
\[ (5-x)(x-3) \geq 0 \]
3. Найдем корни квадратного выражения:
\[ 5 - x = 0 \implies x = 5 \] \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \]
4. Определим интервалы, на которых выражение положительно:
\[ (5-x)(x-3) > 0 \implies 3 < x < 5 \]
5. Найдем значение аргумента, при котором функция достигает наибольшего значения:
\[ y = \sqrt{(5-x)(x-3)} \]
6. Для этого найдем производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(5-x)(x-3)} \right) \]
7. Используем цепное правило дифференцирования:
\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (5-x)(x-3) \right) \]
8. Найдем производную внутренней функции:
\[ \frac{d}{dx} \left( (5-x)(x-3) \right) = (5-x)' \cdot (x-3) + (5-x) \cdot (x-3)' \] \[ = -1 \cdot (x-3) + (5-x) \cdot 1 = -x + 3 + 5 - x = 8 - 2x \]
9. Таким образом, производная функции \( y \) будет:
\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot (8 - 2x) \]
10. Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot (8 - 2x) = 0 \]
11. Поскольку знаменатель не равен нулю, решим уравнение:
\[ 8 - 2x = 0 \implies x = 4 \]
12. Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 4 \) в ОДЗ:
\[ 3 < 4 < 5 \implies x = 4 \text{ попадает в ОДЗ} \]
13. Вычислим значение функции в критической точке \( x = 4 \):
\[ y(4) = \sqrt{(5-4)(4-3)} = \sqrt{1 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1 \]
14. Проверим значения функции на концах ОДЗ:
\[ y(3) = \sqrt{(5-3)(3-3)} = \sqrt{2 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(5) = \sqrt{(5-5)(5-3)} = \sqrt{0 \cdot 2} = \sqrt{0} = 0 \]
15. Сравним полученные значения:
\[ y(4) = 1, \quad y(3) = 0, \quad y(5) = 0 \]
16. Наибольшее значение функции достигается при \( x = 4 \):

Ответ: 4

Решение №43700: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции \( y \):
\[ \sqrt{x-5} \geq 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{9-x} \geq 0 \] \[ x - 5 \geq 0 \quad \text{и} \quad 9 - x \geq 0 \] \[ x \geq 5 \quad \text{и} \quad x \leq 9 \] Таким образом, ОДЗ: \[ 5 \leq x \leq 9 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x-5} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9-x} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - \frac{1}{2\sqrt{9-x}} = 0 \] \[ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \] \[ \sqrt{x-5} = \sqrt{9-x} \] \[ x - 5 = 9 - x \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
\[ x = 7 \quad \text{попадает в ОДЗ} \quad [5, 9] \]
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(5) = \sqrt{5-5} + \sqrt{9-5} = 0 + 2 = 2 \] \[ y(7) = \sqrt{7-5} + \sqrt{9-7} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] \[ y(9) = \sqrt{9-5} + \sqrt{9-9} = 2 + 0 = 2 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ y(5) = 2 \] \[ y(7) = 2\sqrt{2} \] \[ y(9) = 2 \] Наибольшее значение: \( y(7) = 2\sqrt{2} \)

Ответ: 7

Решение №43701: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ \sqrt{x+1} \text{ определено, если } x+1 \geq 0 \implies x \geq -1 \] \[ \sqrt{-x} \text{ определено, если } -x \geq 0 \implies x \leq 0 \] \[ \text{Следовательно, ОДЗ: } -1 \leq x \leq 0 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 3\sqrt{x+1} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{-x} \right) \] \[ y' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) \] \[ y' = \frac{3}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{3}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} = 0 \] \[ \frac{3}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \] \[ 3 \sqrt{-x} = \sqrt{x+1} \] \[ 9(-x) = x+1 \] \[ -9x = x + 1 \] \[ -10x = 1 \] \[ x = -\frac{1}{10} \]
4. Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ:
\[ -1 \leq -\frac{1}{10} \leq 0 \quad \text{(попадает)} \]
5. Вычислить значение функции \( y \) в критической точке и на концах отрезка:
\[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3\sqrt{-\frac{1}{10} + 1} + \sqrt{\frac{1}{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3\sqrt{\frac{9}{10}} + \sqrt{\frac{1}{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] \[ y(-1) = 3\sqrt{-1 + 1} + \sqrt{1} \] \[ y(-1) = 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] \[ y(0) = 3\sqrt{0 + 1} + \sqrt{0} \] \[ y(0) = 3 \cdot 1 + 0 = 3 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \sqrt{10} \approx 3.16 \] \[ y(-1) = 1 \] \[ y(0) = 3 \] Наибольшее значение: \( \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Ответ: -0.1

Решение №43702: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x} \right) \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{10 - 2x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) + \frac{1}{2 \sqrt{3x}} \cdot 3 \] \[ y' = \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2 \sqrt{3x}} = 0 \] \[ \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} = -\frac{3}{2 \sqrt{3x}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} = \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \]
3. Квадратировать обе части уравнения для устранения корней:
\[ \left( \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} \right)^2 = \left( \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \right)^2 \] \[ \frac{1}{10 - 2x} = \frac{9}{12x} \] \[ \frac{1}{10 - 2x} = \frac{3}{4x} \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x = 3(10 - 2x) \] \[ 4x = 30 - 6x \] \[ 10x = 30 \] \[ x = 3 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений:
\[ 10 - 2x \geq 0 \quad \text{и} \quad 3x \geq 0 \] \[ 10 - 2 \cdot 3 = 4 \geq 0 \quad \text{и} \quad 3 \cdot 3 = 9 \geq 0 \] Критическая точка \( x = 3 \) попадает в область допустимых значений.
6. Вычислить значение функции \( y \) в критической точке:
\[ y(3) = \sqrt{10 - 2 \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 3} \] \[ y(3) = \sqrt{4} + \sqrt{9} \] \[ y(3) = 2 + 3 \] \[ y(3) = 5 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции:
Наибольшее значение функции \( y \) при \( x = 3 \) равно 5.

Ответ: 3

Решение №43703: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
\[ \text{ОДЗ: } \begin{cases} 8 - 3x \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \]
2. Решить систему неравенств:
\[ 8 - 3x \geq 0 \implies x \leq \frac{8}{3} \] \[ x \geq 0 \] \[ \text{Таким образом, ОДЗ: } 0 \leq x \leq \frac{8}{3} \]
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x} \] \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{8 - 3x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{8 - 3x}} \cdot (-3) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = -\frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \] \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} \] \[ \sqrt{x} = \sqrt{8 - 3x} \] \[ x = 8 - 3x \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \]
5. Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ:
\[ x = 2 \text{ попадает в ОДЗ } 0 \leq x \leq \frac{8}{3} \]
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \sqrt{8 - 3 \cdot 0} + \sqrt{0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ y\left(\frac{8}{3}\right) = \sqrt{8 - 3 \cdot \frac{8}{3}} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{0} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \] \[ y(2) = \sqrt{8 - 3 \cdot 2} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = y(2) = 2\sqrt{2} \]

Ответ: \(frac{2}{3}\).

Решение №43704: Для нахождения значений аргумента \( x \), при которых функция \( y = \sqrt{x^2 - 8x + 17} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 8x + 17} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - 8x + 17) \] \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \cdot (2x - 8) \] \[ y' = \frac{2x - 8}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \] \[ y' = \frac{x - 4}{\sqrt{x^2 - 8x + 17}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x - 4}{\sqrt{x^2 - 8x + 17}} = 0 \] Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, решим числитель: \[ x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений функции:
Определим область допустимых значений функции: \[ x^2 - 8x + 17 \geq 0 \] Поскольку \( x^2 - 8x + 17 \) является квадратом неполного квадрата, он всегда положителен для всех \( x \).
4. Вычислить значение функции \( y \) в критической точке:
\[ y(4) = \sqrt{4^2 - 8 \cdot 4 + 17} \] \[ y(4) = \sqrt{16 - 32 + 17} \] \[ y(4) = \sqrt{1} \] \[ y(4) = 1 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции:
Наименьшее значение функции \( y \) достигается при \( x = 4 \): \[ y(4) = 1 \]

Ответ: 4

Решение №43705: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{7(x+9)(x-6)} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений функции:
Функция \( y = \sqrt{7(x+9)(x-6)} \) определена, когда выражение под корнем неотрицательно: \[ 7(x+9)(x-6) \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ (x+9)(x-6) \geq 0 \] Это квадратное неравенство. Решим его, найдя корни и проанализируя знаки на интервалах: \[ x+9 = 0 \implies x = -9 \] \[ x-6 = 0 \implies x = 6 \] Интервалы для проверки знаков: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 6) \), \( (6, \infty) \). Проверим знаки на этих интервалах: - На интервале \( (-\infty, -9) \): \( (x+9) < 0 \) и \( (x-6) < 0 \), значит произведение положительно. - На интервале \( (-9, 6) \): \( (x+9) > 0 \) и \( (x-6) < 0 \), значит произведение отрицательно. - На интервале \( (6, \infty) \): \( (x+9) > 0 \) и \( (x-6) > 0 \), значит произведение положительно. Таким образом, функция определена на интервалах: \[ x \in (-\infty, -9] \cup [6, \infty) \]
2. Найти критические точки функции:
Критические точки функции \( y \) могут быть найдены, решив уравнение \( y = 0 \): \[ \sqrt{7(x+9)(x-6)} = 0 \] Это возможно, если: \[ 7(x+9)(x-6) = 0 \] Решим это уравнение: \[ (x+9)(x-6) = 0 \] Корни уравнения: \[ x = -9 \quad \text{и} \quad x = 6 \] Эти точки являются критическими и лежат на границах области допустимых значений.
3. Проверить значения функции в критических точках:
\[ y(-9) = \sqrt{7(-9+9)(-9-6)} = \sqrt{7 \cdot 0 \cdot (-15)} = 0 \] \[ y(6) = \sqrt{7(6+9)(6-6)} = \sqrt{7 \cdot 15 \cdot 0} = 0 \] Оба значения функции в критических точках равны 0.
4. Сравнить значения функции и определить наименьшее значение:
Поскольку значения функции в критических точках равны 0 и функция неотрицательна на всей области допустимых значений, наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 6

Решение №43706:

1. Найти производную функции \( y = \sqrt{x^2 + 4x + 10} \):
2. Для этого сначала найдем производную подкоренного выражения \( u = x^2 + 4x + 10 \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 10) = 2x + 4 \]
3. Теперь применим правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \]
4. Подставим \( u \) и \( u' \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \cdot (2x + 4) = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} = 0 \]
6. Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x + 4 = 0 \]
7. Решить уравнение относительно \( x \): \[ 2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \]
8. Проверить, является ли \( x = -2 \) точкой минимума. Для этого найдем вторую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \right) \]
9. Для упрощения, используем правило произведения и цепочки: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \right) = \frac{2\sqrt{x^2 + 4x + 10} \cdot 2 - (2x + 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \cdot (2x + 4)}{4(x^2 + 4x + 10)} \]
10. Упростим выражение: \[ y' = \frac{2(x^2 + 4x + 10) - (2x + 4)^2}{4(x^2 + 4x + 10)^{3/2}} \]
11. Подставим \( x = -2 \): \[ y'(-2) = \frac{2((-2)^2 + 4(-2) + 10) - (2(-2) + 4)^2}{4((-2)^2 + 4(-2) + 10)^{3/2}} = \frac{2(4 - 8 + 10) - (0)^2}{4(4 - 8 + 10)^{3/2}} = \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 6^{3/2}} = \frac{12}{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{6}} = \frac{12}{24 \sqrt{6}} = \frac{1}{2 \sqrt{6}} \]
12. Поскольку \( y'(-2) > 0 \), точка \( x = -2 \) является точкой минимума.

Ответ: -9

Решение №43707: Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2(x-4)(x+8)} \right) \] Используем правило цепочки: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( 2(x-4)(x+8) \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot \left( 2(x-4) + 2(x+8) \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot 2(2x+4) \] \[ y' = \frac{2x+4}{\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x+4}{\sqrt{2(x-4)(x+8)}} = 0 \] \[ 2x + 4 = 0 \] \[ 2x = -4 \] \[ x = -2 \]
3. Проверить, является ли найденная точка точкой минимума:
\[ y(-2) = \sqrt{2(-2-4)(-2+8)} = \sqrt{2(-6)(6)} = \sqrt{2 \cdot (-36)} = \sqrt{-72} \] Поскольку \( \sqrt{-72} \) не определено в области действительных чисел, значение \( x = -2 \) не является критической точкой.
4. Проверить значения функции на концах интервала:
\[ y(4) = \sqrt{2(4-4)(4+8)} = \sqrt{2 \cdot 0 \cdot 12} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(-8) = \sqrt{2(-8-4)(-8+8)} = \sqrt{2 \cdot (-12) \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции:
Наименьшее значение функции \( y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \) достигается при \( x = 4 \) и \( x = -8 \), и оно равно \( 0 \).

Ответ: 4;-8

Решение №43708: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции. Функция \( y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \) определена при \( (x-5)(15-x) \geq 0 \).
\[ (x-5)(15-x) \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ (x-5) \geq 0 \quad \text{и} \quad (15-x) \geq 0 \quad \text{или} \quad (x-5) \leq 0 \quad \text{и} \quad (15-x) \leq 0 \] Это дает нам: \[ 5 \leq x \leq 15 \] Таким образом, ОДЗ функции \( y \) — это отрезок \([5; 15]\).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot \left((15-x) - (x-5)\right) \] Упростим выражение внутри скобок: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot (15 - x - x + 5) = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot (20 - 2x) \] \[ y' = \frac{20 - 2x}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} = \frac{10 - x}{\sqrt{(x-5)(15-x)}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{10 - x}{\sqrt{(x-5)(15-x)}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ 10 - x = 0 \implies x = 10 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
\[ x = 10 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [5; 15] \]
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(5) = \sqrt{(5-5)(15-5)} = \sqrt{0 \cdot 10} = 0 \] \[ y(10) = \sqrt{(10-5)(15-10)} = \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5 \] \[ y(15) = \sqrt{(15-5)(15-15)} = \sqrt{10 \cdot 0} = 0 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение:} \quad y(10) = 5 \] \[ \text{Наименьшее значение:} \quad y(5) = 0 \quad \text{и} \quad y(15) = 0 \]

Ответ: \(y_{наиб}=5\),\(y_{наим}=0\).

Решение №43709: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции \( y \).
\[ (2x+4)(3-x) \geq 0 \] Найдем критические точки, где выражение под корнем равно нулю: \[ 2x + 4 = 0 \implies x = -2 \] \[ 3 - x = 0 \implies x = 3 \] ОДЗ находится между этими точками, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ -2 \leq x \leq 3 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(2x+4)(3-x)} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (2x+4)(3-x) \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( (2x+4)(3-x) \right) = \frac{d}{dx} \left( 2x \cdot 3 - 2x^2 + 4 \cdot 3 - 4x \right) \] \[ = \frac{d}{dx} \left( 6x - 2x^2 + 12 - 4x \right) = 6 - 4x - 2x = 6 - 6x \] Подставляем обратно: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \cdot (6 - 6x) \] \[ y' = \frac{6 - 6x}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{6 - 6x}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} = 0 \] \[ 6 - 6x = 0 \] \[ 6 = 6x \implies x = 1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \([-2; 3]\):
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в ОДЗ.
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = \sqrt{(2(-2)+4)(3-(-2))} = \sqrt{(-4+4)(3+2)} = \sqrt{0 \cdot 5} = 0 \] \[ y(3) = \sqrt{(2 \cdot 3 + 4)(3-3)} = \sqrt{(6+4)(0)} = \sqrt{10 \cdot 0} = 0 \] \[ y(1) = \sqrt{(2 \cdot 1 + 4)(3-1)} = \sqrt{(2+4)(2)} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = \sqrt{12} \) Наименьшее значение: \( y(-2) = 0 \) и \( y(3) = 0 \)

Ответ: \(y_{наиб}=\frac{5}{2\sqrt{2}}),\(y_{наим}=0\).

Решение №43710: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(12-x)(x-4)} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( \sqrt{u} \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (12-x)(x-4) \right) \] Найдем производную произведения \( (12-x)(x-4) \): \[ \frac{d}{dx} \left( (12-x)(x-4) \right) = (12-x)' \cdot (x-4) + (12-x) \cdot (x-4)' \] \[ = (-1) \cdot (x-4) + (12-x) \cdot 1 \] \[ = -(x-4) + (12-x) \] \[ = -x + 4 + 12 - x \] \[ = 16 - 2x \] Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot (16 - 2x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot (16 - 2x) = 0 \] \[ 16 - 2x = 0 \] \[ 16 = 2x \] \[ x = 8 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений (ОДЗ):
Функция \( y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \) определена, когда \( (12-x)(x-4) \geq 0 \). Это истинно при \( 4 \leq x \leq 12 \).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(4) = \sqrt{(12-4)(4-4)} = \sqrt{8 \cdot 0} = 0 \] \[ y(8) = \sqrt{(12-8)(8-4)} = \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt{16} = 4 \] \[ y(12) = \sqrt{(12-12)(12-4)} = \sqrt{0 \cdot 8} = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(8) = 4 \)
Наименьшее значение: \( y(4) = 0 \) и \( y(12) = 0 \)

Ответ: \(y_{наиб}=4\),\(y_{наим}=0\).

Решение №43711: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(5-x)(3x+6)} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Функция \( y \) определена, если выражение под корнем неотрицательно:
\[ (5-x)(3x+6) \geq 0 \]
2. Найти корни уравнения \( (5-x)(3x+6) = 0 \):
\[ 5 - x = 0 \implies x = 5 \] \[ 3x + 6 = 0 \implies x = -2 \]
3. Определить интервалы, на которых выражение \( (5-x)(3x+6) \) неотрицательно. Для этого построим таблицу знаков:
\[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 5-x & 3x+6 & (5-x)(3x+6) \\ \hline x < -2 & + & - & - \\ -2 < x < 5 & + & + & + \\ x > 5 & - & + & - \\ \end{array} \]
4. Из таблицы знаков видно, что выражение \( (5-x)(3x+6) \) неотрицательно на интервале \([-2; 5]\).
5. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(5-x)(3x+6)} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (5-x)(3x+6) \right) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot \left( (5-x) \cdot 3 + (3x+6) \cdot (-1) \right) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot (15 - 3x - 3x - 6) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot (9 - 6x) \]
6. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{9 - 6x}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} = 0 \] \[ 9 - 6x = 0 \] \[ x = \frac{9}{6} = 1.5 \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \([-2; 5]\):
Критическая точка \( x = 1.5 \) попадает в ОДЗ.
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = \sqrt{(5-(-2))(3(-2)+6)} = \sqrt{(7)(0)} = 0 \] \[ y(1.5) = \sqrt{(5-1.5)(3(1.5)+6)} = \sqrt{(3.5)(4.5+6)} = \sqrt{(3.5)(10.5)} = \sqrt{36.75} \approx 6.06 \] \[ y(5) = \sqrt{(5-5)(3(5)+6)} = \sqrt{(0)(21)} = 0 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1.5) \approx 6.06 \)
Наименьшее значение: \( y(-2) = 0 \) и \( y(5) = 0 \)

Ответ: \(y_{наиб}=3,5\sqrt{3}\),\(y_{наим}=0\).