Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x-2\sqrt{x}\), \([0;+\infty)\).

Ответ

\(y_{наиб}=не существует\),\(y_{наим}=-1\).

Решение № 43683:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x - 2\sqrt{x} \) на промежутке \([0; +\infty)\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x - 2\sqrt{x}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} \implies \] <li> \[ \sqrt{x} = 1 \implies \] </li> <li> \[ x = 1 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \([0; +\infty)\): </li> Критическая точка \( x = 1 \) попадает в промежуток \([0; +\infty)\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка: </li> \[ y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0 \] \[ y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1 \] <li> Исследовать поведение функции на границах промежутка: </li> \[ \lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = +\infty \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } +\infty \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -1 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( +\infty \) <br> Наименьшее значение: \( -1 \)