Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: \(y=\sqrt{(12-x)(x-4)}\).

Ответ

\(y_{наиб}=4\),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43710:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(12-x)(x-4)} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( \sqrt{u} \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (12-x)(x-4) \right) \] Найдем производную произведения \( (12-x)(x-4) \): \[ \frac{d}{dx} \left( (12-x)(x-4) \right) = (12-x)' \cdot (x-4) + (12-x) \cdot (x-4)' \] \[ = (-1) \cdot (x-4) + (12-x) \cdot 1 \] \[ = -(x-4) + (12-x) \] \[ = -x + 4 + 12 - x \] \[ = 16 - 2x \] Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot (16 - 2x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{2\sqrt{(12-x)(x-4)}} \cdot (16 - 2x) = 0 \] \[ 16 - 2x = 0 \] \[ 16 = 2x \] \[ x = 8 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений (ОДЗ): </li> Функция \( y = \sqrt{(12-x)(x-4)} \) определена, когда \( (12-x)(x-4) \geq 0 \). Это истинно при \( 4 \leq x \leq 12 \). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(4) = \sqrt{(12-4)(4-4)} = \sqrt{8 \cdot 0} = 0 \] \[ y(8) = \sqrt{(12-8)(8-4)} = \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt{16} = 4 \] \[ y(12) = \sqrt{(12-12)(12-4)} = \sqrt{0 \cdot 8} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(8) = 4 \) <br> Наименьшее значение: \( y(4) = 0 \) и \( y(12) = 0 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 4 \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)