Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=\sqrt{1+sin2x}\), \([0; \frac{\pi}{2}]\).

Ответ

\(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=-1\).

Решение № 43621:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить диапазон значений функции \(\sin(2x)\) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\). </li> <li> \(\sin(2x)\) принимает значения в диапазоне \([-1; 1]\). </li> <li> На отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) аргумент \(2x\) изменяется от \(0\) до \(\pi\). </li> <li> Найти минимальное значение \(\sin(2x)\): </li> \[ \sin(2x) \text{ минимально, когда } 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ \sin(0) = 0 \] <li> Найти максимальное значение \(\sin(2x)\): </li> \[ \sin(2x) \text{ максимально, когда } 2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] <li> Найти минимальное значение функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \): </li> \[ y_{\min} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \] <li> Найти максимальное значение функции \( y = \sqrt{1 + \sin(2x)} \): </li> \[ y_{\max} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \)