Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=\sqrt{1+cos2x}\), \([-\frac{\pi}{2}; 0]\).

Ответ

\(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43623:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Изучить функцию \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \): \[ y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \] Функция \( \cos(2x) \) имеет период \( \pi \), и на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\) она принимает значения от \(-1\) до \(1\). </li> <li> Определить диапазон значений \( \cos(2x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; 0]\): \[ \cos(2x) \text{ принимает значения от } -1 \text{ до } 1 \] </li> <li> Определить диапазон значений \( 1 + \cos(2x) \): \[ 1 + \cos(2x) \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } 2 \] </li> <li> Определить диапазон значений \( \sqrt{1 + \cos(2x)} \): \[ \sqrt{1 + \cos(2x)} \text{ принимает значения от } 0 \text{ до } \sqrt{2} \] </li> <li> Найти значения функции \( y \) на концах отрезка \([- \frac{\pi}{2}; 0]\): \[ y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{1 + \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2}))} = \sqrt{1 + \cos(-\pi)} = \sqrt{1 - 1} = 0 \] \[ y(0) = \sqrt{1 + \cos(2 \cdot 0)} = \sqrt{1 + \cos(0)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = \sqrt{2} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)