Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: \(y=\sqrt{7(x+9)(x-6)}\).

Ответ

6

Решение № 43705:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{7(x+9)(x-6)} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> <strong>Определить область допустимых значений функции:</strong> </li> Функция \( y = \sqrt{7(x+9)(x-6)} \) определена, когда выражение под корнем неотрицательно: \[ 7(x+9)(x-6) \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ (x+9)(x-6) \geq 0 \] Это квадратное неравенство. Решим его, найдя корни и проанализируя знаки на интервалах: \[ x+9 = 0 \implies x = -9 \] \[ x-6 = 0 \implies x = 6 \] Интервалы для проверки знаков: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 6) \), \( (6, \infty) \). Проверим знаки на этих интервалах: - На интервале \( (-\infty, -9) \): \( (x+9) < 0 \) и \( (x-6) < 0 \), значит произведение положительно. - На интервале \( (-9, 6) \): \( (x+9) > 0 \) и \( (x-6) < 0 \), значит произведение отрицательно. - На интервале \( (6, \infty) \): \( (x+9) > 0 \) и \( (x-6) > 0 \), значит произведение положительно. Таким образом, функция определена на интервалах: \[ x \in (-\infty, -9] \cup [6, \infty) \] </li> <li> <strong>Найти критические точки функции:</strong> </li> Критические точки функции \( y \) могут быть найдены, решив уравнение \( y = 0 \): \[ \sqrt{7(x+9)(x-6)} = 0 \] Это возможно, если: \[ 7(x+9)(x-6) = 0 \] Решим это уравнение: \[ (x+9)(x-6) = 0 \] Корни уравнения: \[ x = -9 \quad \text{и} \quad x = 6 \] Эти точки являются критическими и лежат на границах области допустимых значений. </li> <li> <strong>Проверить значения функции в критических точках:</strong> </li> \[ y(-9) = \sqrt{7(-9+9)(-9-6)} = \sqrt{7 \cdot 0 \cdot (-15)} = 0 \] \[ y(6) = \sqrt{7(6+9)(6-6)} = \sqrt{7 \cdot 15 \cdot 0} = 0 \] Оба значения функции в критических точках равны 0. </li> <li> <strong>Сравнить значения функции и определить наименьшее значение:</strong> </li> Поскольку значения функции в критических точках равны 0 и функция неотрицательна на всей области допустимых значений, наименьшее значение функции равно 0. </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение функции достигается при \( x = -9 \) и \( x = 6 \).