Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: \(y=\sqrt{x^2+4x+10}\).

Ответ

-9

Решение № 43706:

<ol> <li> Найти производную функции \( y = \sqrt{x^2 + 4x + 10} \): </li> <li> Для этого сначала найдем производную подкоренного выражения \( u = x^2 + 4x + 10 \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 10) = 2x + 4 \] </li> <li> Теперь применим правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \] </li> <li> Подставим \( u \) и \( u' \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \cdot (2x + 4) = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} = 0 \] </li> <li> Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x + 4 = 0 \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( x \): \[ 2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \] </li> <li> Проверить, является ли \( x = -2 \) точкой минимума. Для этого найдем вторую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \right) \] </li> <li> Для упрощения, используем правило произведения и цепочки: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \right) = \frac{2\sqrt{x^2 + 4x + 10} \cdot 2 - (2x + 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \cdot (2x + 4)}{4(x^2 + 4x + 10)} \] </li> <li> Упростим выражение: \[ y' = \frac{2(x^2 + 4x + 10) - (2x + 4)^2}{4(x^2 + 4x + 10)^{3/2}} \] </li> <li> Подставим \( x = -2 \): \[ y'(-2) = \frac{2((-2)^2 + 4(-2) + 10) - (2(-2) + 4)^2}{4((-2)^2 + 4(-2) + 10)^{3/2}} = \frac{2(4 - 8 + 10) - (0)^2}{4(4 - 8 + 10)^{3/2}} = \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 6^{3/2}} = \frac{12}{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{6}} = \frac{12}{24 \sqrt{6}} = \frac{1}{2 \sqrt{6}} \] </li> <li> Поскольку \( y'(-2) > 0 \), точка \( x = -2 \) является точкой минимума. </li> </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = -2 \)