Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{(5-x)(x-3)}\).

Ответ

4

Решение № 43699:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(5-x)(x-3)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции: </li> \[ (5-x)(x-3) \geq 0 \] <li> Решим неравенство: </li> \[ (5-x)(x-3) \geq 0 \] <li> Найдем корни квадратного выражения: </li> \[ 5 - x = 0 \implies x = 5 \] \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] <li> Определим интервалы, на которых выражение положительно: </li> \[ (5-x)(x-3) > 0 \implies 3 < x < 5 \] <li> Найдем значение аргумента, при котором функция достигает наибольшего значения: </li> \[ y = \sqrt{(5-x)(x-3)} \] <li> Для этого найдем производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(5-x)(x-3)} \right) \] <li> Используем цепное правило дифференцирования: </li> \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (5-x)(x-3) \right) \] <li> Найдем производную внутренней функции: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( (5-x)(x-3) \right) = (5-x)' \cdot (x-3) + (5-x) \cdot (x-3)' \] \[ = -1 \cdot (x-3) + (5-x) \cdot 1 = -x + 3 + 5 - x = 8 - 2x \] <li> Таким образом, производная функции \( y \) будет: </li> \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot (8 - 2x) \] <li> Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(x-3)}} \cdot (8 - 2x) = 0 \] <li> Поскольку знаменатель не равен нулю, решим уравнение: </li> \[ 8 - 2x = 0 \implies x = 4 \] <li> Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 4 \) в ОДЗ: </li> \[ 3 < 4 < 5 \implies x = 4 \text{ попадает в ОДЗ} \] <li> Вычислим значение функции в критической точке \( x = 4 \): </li> \[ y(4) = \sqrt{(5-4)(4-3)} = \sqrt{1 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1 \] <li> Проверим значения функции на концах ОДЗ: </li> \[ y(3) = \sqrt{(5-3)(3-3)} = \sqrt{2 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(5) = \sqrt{(5-5)(5-3)} = \sqrt{0 \cdot 2} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Сравним полученные значения: </li> \[ y(4) = 1, \quad y(3) = 0, \quad y(5) = 0 \] <li> Наибольшее значение функции достигается при \( x = 4 \): </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции достигается при \( x = 4 \) и равно \( 1 \).