Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: \(y=\sqrt{(x-5)(15-x)}\).

Ответ

\(y_{наиб}=5\),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43708:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции. Функция \( y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \) определена при \( (x-5)(15-x) \geq 0 \). </li> \[ (x-5)(15-x) \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ (x-5) \geq 0 \quad \text{и} \quad (15-x) \geq 0 \quad \text{или} \quad (x-5) \leq 0 \quad \text{и} \quad (15-x) \leq 0 \] Это дает нам: \[ 5 \leq x \leq 15 \] Таким образом, ОДЗ функции \( y \) — это отрезок \([5; 15]\). </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(x-5)(15-x)} \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot \left((15-x) - (x-5)\right) \] Упростим выражение внутри скобок: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot (15 - x - x + 5) = \frac{1}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} \cdot (20 - 2x) \] \[ y' = \frac{20 - 2x}{2\sqrt{(x-5)(15-x)}} = \frac{10 - x}{\sqrt{(x-5)(15-x)}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{10 - x}{\sqrt{(x-5)(15-x)}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ 10 - x = 0 \implies x = 10 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ: </li> \[ x = 10 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [5; 15] \] </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(5) = \sqrt{(5-5)(15-5)} = \sqrt{0 \cdot 10} = 0 \] \[ y(10) = \sqrt{(10-5)(15-10)} = \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5 \] \[ y(15) = \sqrt{(15-5)(15-15)} = \sqrt{10 \cdot 0} = 0 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение:} \quad y(10) = 5 \] \[ \text{Наименьшее значение:} \quad y(5) = 0 \quad \text{и} \quad y(15) = 0 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 5 \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)