Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=\sqrt{1+cos2x}\), \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).

Ответ

\(y_{наиб}=\sqrt{2}\),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43620:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Упростить выражение под корнем: </li> \[ y = \sqrt{1 + \cos(2x)} \] <br> Используем тригонометрическую формулу: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] <br> Подставим это в наше выражение: \[ y = \sqrt{1 + 2\cos^2(x) - 1} = \sqrt{2\cos^2(x)} \] <br> Упростим: \[ y = \sqrt{2} \cdot |\cos(x)| \] </li> <li> Определить диапазон значений \( \cos(x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): </li> <br> На отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) функция \( \cos(x) \) принимает значения от 0 до 1. </li> <li> Определить диапазон значений \( |\cos(x)| \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): </li> <br> Так как \( |\cos(x)| \) всегда неотрицательно, на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) \( |\cos(x)| \) принимает значения от 0 до 1. </li> <li> Определить диапазон значений \( y \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): </li> <br> Так как \( y = \sqrt{2} \cdot |\cos(x)| \), то \( y \) принимает значения от \( \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \) до \( \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \). </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)