Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{(x-1)(10-x)}\).

Ответ

5.5

Решение № 43696:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(x-1)(10-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \): </li> \[ (x-1)(10-x) \geq 0 \] Это условие выполняется, когда \( 1 \leq x \leq 10 \). <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(x-1)(10-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-1)(10-x)} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} \cdot \frac{d}{dx} ((x-1)(10-x)) \] \[ \frac{d}{dx} ((x-1)(10-x)) = (10-x) + (x-1)(-1) = 10 - x - x + 1 = 11 - 2x \] \[ y' = \frac{11 - 2x}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{11 - 2x}{2\sqrt{(x-1)(10-x)}} = 0 \] \[ 11 - 2x = 0 \] \[ 2x = 11 \] \[ x = \frac{11}{2} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ: </li> \[ x = \frac{11}{2} = 5.5 \] Критическая точка \( x = 5.5 \) попадает в ОДЗ \( [1, 10] \). <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке: </li> \[ y(5.5) = \sqrt{(5.5-1)(10-5.5)} = \sqrt{(4.5)(4.5)} = \sqrt{20.25} = 4.5 \] <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка ОДЗ: </li> \[ y(1) = \sqrt{(1-1)(10-1)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(10) = \sqrt{(10-1)(10-10)} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(1) = 0, \quad y(10) = 0, \quad y(5.5) = 4.5 \] Наибольшее значение функции: \( y(5.5) = 4.5 \). </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции \( y = \sqrt{(x-1)(10-x)} \) достигается при \( x = 5.5 \) и равно \( 4.5 \).