Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: \(y=\sqrt{x^2-8x+17}\).

Ответ

4

Решение № 43704:

Для нахождения значений аргумента \( x \), при которых функция \( y = \sqrt{x^2 - 8x + 17} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 8x + 17} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - 8x + 17) \] \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \cdot (2x - 8) \] \[ y' = \frac{2x - 8}{2 \sqrt{x^2 - 8x + 17}} \] \[ y' = \frac{x - 4}{\sqrt{x^2 - 8x + 17}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{x - 4}{\sqrt{x^2 - 8x + 17}} = 0 \] Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, решим числитель: \[ x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений функции: </li> Определим область допустимых значений функции: \[ x^2 - 8x + 17 \geq 0 \] Поскольку \( x^2 - 8x + 17 \) является квадратом неполного квадрата, он всегда положителен для всех \( x \). <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке: </li> \[ y(4) = \sqrt{4^2 - 8 \cdot 4 + 17} \] \[ y(4) = \sqrt{16 - 32 + 17} \] \[ y(4) = \sqrt{1} \] \[ y(4) = 1 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции: </li> Наименьшее значение функции \( y \) достигается при \( x = 4 \): \[ y(4) = 1 \] </ol> Ответ: <br> Значение аргумента, при котором функция достигает наименьшего значения: \( x = 4 \) <br> Наименьшее значение функции: \( 1 \)