Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: \(y=\sqrt{2(x-4)(x+8)}\).

Ответ

4;-8

Решение № 43707:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \) достигает наименьшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2(x-4)(x+8)} \right) \] Используем правило цепочки: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( 2(x-4)(x+8) \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot \left( 2(x-4) + 2(x+8) \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \cdot 2(2x+4) \] \[ y' = \frac{2x+4}{\sqrt{2(x-4)(x+8)}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2x+4}{\sqrt{2(x-4)(x+8)}} = 0 \] \[ 2x + 4 = 0 \] \[ 2x = -4 \] \[ x = -2 \] <li> Проверить, является ли найденная точка точкой минимума: </li> \[ y(-2) = \sqrt{2(-2-4)(-2+8)} = \sqrt{2(-6)(6)} = \sqrt{2 \cdot (-36)} = \sqrt{-72} \] Поскольку \( \sqrt{-72} \) не определено в области действительных чисел, значение \( x = -2 \) не является критической точкой. <li> Проверить значения функции на концах интервала: </li> \[ y(4) = \sqrt{2(4-4)(4+8)} = \sqrt{2 \cdot 0 \cdot 12} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(-8) = \sqrt{2(-8-4)(-8+8)} = \sqrt{2 \cdot (-12) \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции: </li> Наименьшее значение функции \( y = \sqrt{2(x-4)(x+8)} \) достигается при \( x = 4 \) и \( x = -8 \), и оно равно \( 0 \). </ol> Ответ: <br> Значения аргумента, при которых функция достигает наименьшего значения: \( x = 4 \) и \( x = -8 \) <br> Наименьшее значение функции: \( 0 \)