Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=\sqrt{2x+6}-x\), \([3;+\infty)\).

Ответ

\(y_{наиб}=3,5\),\(y_{наим}=не существует\).

Решение № 43689:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{2x + 6} - x \) на промежутке \([3; +\infty)\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x + 6} - x \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \(\sqrt{u}\) и линейной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} \cdot 2 - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1 - \sqrt{2x + 6}}{\sqrt{2x + 6}} = 0 \] Равенство достигается, когда: \[ 1 - \sqrt{2x + 6} = 0 \implies \sqrt{2x + 6} = 1 \] Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 2x + 6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \] Эта точка не попадает в промежуток \([3; +\infty)\). <li> Исследовать знак производной на промежутке \([3; +\infty)\): </li> \[ y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} - 1 \] Для \( x \geq 3 \): \[ \sqrt{2x + 6} \geq \sqrt{2 \cdot 3 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} > 1 \] Следовательно: \[ \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} < 1 \implies y' < 0 \] Так как производная отрицательна на всем промежутке \([3; +\infty)\), функция убывает на этом промежутке. <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах промежутка: </li> \[ y(3) = \sqrt{2 \cdot 3 + 6} - 3 = \sqrt{12} - 3 = 2\sqrt{3} - 3 \] Так как функция убывает на всем промежутке \([3; +\infty)\), наибольшее значение функции на этом промежутке будет в точке \( x = 3 \): \[ y(3) = 2\sqrt{3} - 3 \] Наименьшее значение функции на этом промежутке будет стремиться к \( -\infty \), так как функция убывает и не имеет минимума на \([3; +\infty)\). </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 2\sqrt{3} - 3 \) <br> Наименьшее значение: \( -\infty \)