Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}\).

Ответ

-0.1

Решение № 43701:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции. </li> \[ \sqrt{x+1} \text{ определено, если } x+1 \geq 0 \implies x \geq -1 \] \[ \sqrt{-x} \text{ определено, если } -x \geq 0 \implies x \leq 0 \] \[ \text{Следовательно, ОДЗ: } -1 \leq x \leq 0 \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 3\sqrt{x+1} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{-x} \right) \] \[ y' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) \] \[ y' = \frac{3}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{3}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} = 0 \] \[ \frac{3}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \] \[ 3 \sqrt{-x} = \sqrt{x+1} \] \[ 9(-x) = x+1 \] \[ -9x = x + 1 \] \[ -10x = 1 \] \[ x = -\frac{1}{10} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ: </li> \[ -1 \leq -\frac{1}{10} \leq 0 \quad \text{(попадает)} \] <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке и на концах отрезка: </li> \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3\sqrt{-\frac{1}{10} + 1} + \sqrt{\frac{1}{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3\sqrt{\frac{9}{10}} + \sqrt{\frac{1}{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \] \[ y(-1) = 3\sqrt{-1 + 1} + \sqrt{1} \] \[ y(-1) = 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] \[ y(0) = 3\sqrt{0 + 1} + \sqrt{0} \] \[ y(0) = 3 \cdot 1 + 0 = 3 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y\left(-\frac{1}{10}\right) = \sqrt{10} \approx 3.16 \] \[ y(-1) = 1 \] \[ y(0) = 3 \] Наибольшее значение: \( \sqrt{10} \approx 3.16 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции достигается при \( x = -\frac{1}{10} \) и равно \( \sqrt{10} \).