Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: \(y=\sqrt{(2x+4)(3-x)}\).

Ответ

\(y_{наиб}=\frac{5}{2\sqrt{2}}),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43709:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции \( y \). </li> \[ (2x+4)(3-x) \geq 0 \] Найдем критические точки, где выражение под корнем равно нулю: \[ 2x + 4 = 0 \implies x = -2 \] \[ 3 - x = 0 \implies x = 3 \] ОДЗ находится между этими точками, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ -2 \leq x \leq 3 \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(2x+4)(3-x)} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (2x+4)(3-x) \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( (2x+4)(3-x) \right) = \frac{d}{dx} \left( 2x \cdot 3 - 2x^2 + 4 \cdot 3 - 4x \right) \] \[ = \frac{d}{dx} \left( 6x - 2x^2 + 12 - 4x \right) = 6 - 4x - 2x = 6 - 6x \] Подставляем обратно: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \cdot (6 - 6x) \] \[ y' = \frac{6 - 6x}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{6 - 6x}{2\sqrt{(2x+4)(3-x)}} = 0 \] \[ 6 - 6x = 0 \] \[ 6 = 6x \implies x = 1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \([-2; 3]\): </li> Критическая точка \( x = 1 \) попадает в ОДЗ. <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = \sqrt{(2(-2)+4)(3-(-2))} = \sqrt{(-4+4)(3+2)} = \sqrt{0 \cdot 5} = 0 \] \[ y(3) = \sqrt{(2 \cdot 3 + 4)(3-3)} = \sqrt{(6+4)(0)} = \sqrt{10 \cdot 0} = 0 \] \[ y(1) = \sqrt{(2 \cdot 1 + 4)(3-1)} = \sqrt{(2+4)(2)} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(1) = \sqrt{12} \) Наименьшее значение: \( y(-2) = 0 \) и \( y(3) = 0 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{12} \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)