Решение №3064: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Вычислить производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \]
3. Итоговая производная:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
6. Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой.
7. Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \):
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \]
8. Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \):
\[ 17 = x^2 - 8 \]
9. Решить уравнение относительно \( x^2 \):
\[ x^2 = 25 \]
10. Найти \( x \):
\[ x = \pm 5 \]
11. Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \):
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \]
12. Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает.

Ответ: {-5;5}

Решение №3093: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{4}{3}x^3 - 4x \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3 - 4x\right) = 4x^2 - 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \implies \]
4. \[ 4x^2 = 4 \implies \]
5. \[ x^2 = 1 \implies \]
6. \[ x = \pm 1 \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x = 1 \quad \text{(попадает в отрезок \([0; 2]\))} \] \[ x = -1 \quad \text{(не попадает в отрезок \([0; 2]\))} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3} \] \[ y(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{4}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3} \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = \frac{8}{3} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -\frac{8}{3} \]

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{8}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-\frac{8}{3}

Решение №3098: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right) \] Используем правило произведения: \[ y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)' \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0 \] Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \): \[ 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\): Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = 0 \]
6. Наибольшее значение: \( 0 \)
7. Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)

Ответ: \underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}

Решение №3117: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(xe^{x-x^2}) \]
2. Использовать правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) \]
3. Найти производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) = e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \]
4. Подставить найденные производные в выражение для \( y' \):
\[ y' = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x(1 - 2x) \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) = 0 \]
6. Так как \( e^{x-x^2} \) никогда не равно нулю, уравнение сводится к:
\[ 1 + x - 2x^2 = 0 \]
7. Решить квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]
8. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
9. Подставить коэффициенты \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{4} \]
10. Получить два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
11. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \right) \]
12. Использовать правило произведения для нахождения второй производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \right) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot (1 - 4x) \]
13. Подставить критические точки \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \) во вторую производную и определить характер точек:
\[ y'(1) = e^{1-1^2} \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \left( 1 + 1 - 2 \cdot 1^2 \right) + e^{1-1^2} \left( 1 - 4 \cdot 1 \right) \] \[ y'(1) = e^0 \left( -1 \right) \left( 0 \right) + e^0 \left( -3 \right) \] \[ y'(1) = -3 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{2} - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) + e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}} \left( 2 \right) \left( 0 \right) + e^{-\frac{1}{4}} \left( 3 \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 3e^{-\frac{1}{4}} > 0 \quad \text{(минимум)} \]

Ответ: x_{max}=1, x_{min}=-\frac{1}{2}

Решение №3129: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = e^{-2x} \sin^2 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(e^{-2x} \sin^2 x) \]
2. Использовать правило произведения для дифференцирования:
\[ y' = \left( e^{-2x} \right)' \sin^2 x + e^{-2x} \left( \sin^2 x \right)' \]
3. Найти производные каждой части:
\[ \left( e^{-2x} \right)' = -2e^{-2x} \] \[ \left( \sin^2 x \right)' = 2 \sin x \cos x \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \cdot 2 \sin x \cos x \]
5. Упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \]
6. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) = 0 \]
7. Так как \( e^{-2x} \neq 0 \) для всех \( x \), уравнение упрощается до:
\[ -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \]
8. Разделить уравнение на 2:
\[ -\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \]
9. Вынести общий множитель \( \sin x \):
\[ \sin x (-\sin x + \cos x) = 0 \]
10. Рассмотреть два случая:
\[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad -\sin x + \cos x = 0 \]
11. Решить первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \]
12. Решить второе уравнение:
\[ -\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
13. Определить, какие из этих точек являются точками максимума и минимума:
\[ \text{В точках} \quad x = n\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2n\pi} \sin^2(n\pi) = 0 \] \[ \text{В точках} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \]
14. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \right) \]
15. Дифференцировать и упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x \right) \]
16. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ \text{Для} \quad x = n\pi \quad y' = e^{-2n\pi} \left( 4 \sin^2(n\pi) - 4 \sin(n\pi) \cos(n\pi) - 4 \cos^2(n\pi) \right) = -4e^{-2n\pi} < 0 \] \[ \text{Для} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad y' = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \left( 4 \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \sin(\frac{\pi}{4} + k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \cos^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \right) \]
17. Сравнить значения и определить точки максимума и минимума:
\[ \text{Точки} \quad x = n\pi \quad \text{являются точками максимума} \] \[ \text{Точки} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{являются точками минимума} \]

Ответ: x_{min}=\pi n, n\in Z; x_{max}=\frac{\pi }{4}+\pi k, k,n\in Z

Решение №3409: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right) \] \[ y' = 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 0 \]
3. Упростить уравнение:
\[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ \ln(3) (6 \cdot 3^{3x} + 2 \cdot 3^x) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ 3^x (6 \cdot 3^{2x} + 2) = \frac{8 \cdot 2^{2x} \ln(2)}{\ln(3)} \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому можно использовать численные методы или графики для нахождения критических точек.
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\).
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - \frac{27}{27} + \frac{18}{27} = \frac{2 - 27 + 18}{27} = \frac{-7}{27} \] \[ y(1) = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке.
Наименьшее значение: \( y(-1) = -\frac{7}{27} \)

Ответ: 0

Решение №3411: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15 \cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} (\cos(3x) - 15 \cos(x) + 8) \] \[ y' = -3 \sin(3x) \cdot 3 + 15 \sin(x) \] \[ y' = -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \]
3. Приравнять уравнение к нулю и решить его:
\[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \] \[ 9 \sin(3x) = 15 \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{15}{9} \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{5}{3} \sin(x) \]
4. Использовать формулу для синуса тройного угла:
\[ \sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \] \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \]
5. Решить уравнение относительно \( \sin(x) \):
\[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \] \[ 3 \sin(x) - \frac{5}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \left(3 - \frac{5}{3}\right) \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \frac{4}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) = 3 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) (1 - 3 \sin^2(x)) = 0 \]
6. Решить уравнение:
\[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 3 \sin^2(x) = 0 \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin^2(x) = \frac{1}{3} \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]
7. Найти соответствующие значения \( x \) в пределах отрезка \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\):
\[ \sin(x) = 0 \implies x = \pi \] \[ \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} \] \[ \sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{5\pi}{6} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5 \] \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - 15 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + 8 = \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) - 15 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 8 = 0 + \frac{15\sqrt{3}}{2} + 8 \] \[ y(\pi) = \cos(3\pi) - 15 \cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \)

Ответ: -0.5

Решение №3412: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исследовать поведение функции \( y \) на заданном отрезке.
2. Рассмотрим функцию \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \).
3. Определим диапазон значений \( x + \frac{\pi}{4} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] \]
4. Найдем диапазон значений \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) на этом интервале: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right); \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right] \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
5. Таким образом, \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) принимает значения в диапазоне: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right] \]
6. Теперь найдем диапазон значений \( 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \): \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 + \sqrt{2} \cdot 1\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + 1; 1 + \sqrt{2}\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[2; 1 + \sqrt{2}\right] \]
7. Теперь найдем диапазон значений функции \( y \): \[ y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; \frac{2}{2}\right] \] \[ y \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; 1\right] \]
8. Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ y_{\min} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \]

Ответ: \frac{2}{1+\sqrt{2}}

Решение №3421: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right) \]
2. Применим правило производной суммы и цепного правила:
\[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right) \]
3. Найдем производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2 \] \[ \frac{d}{dx}(2^{-x}) = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2 \]
4. Подставим производные обратно в выражение для \( y' \):
\[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right) \] \[ y' = 2^x - 2^{-x} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2^x - 2^{-x} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \):
\[ 2^x = 2^{-x} \]
7. Подставим \( u = 2^x \):
\[ u = \frac{1}{u} \] \[ u^2 = 1 \] \[ u = \pm 1 \]
8. Так как \( u = 2^x > 0 \), то \( u = 1 \):
\[ 2^x = 1 \implies x = 0 \]
9. Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 0 \) в отрезок \([-1; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\).
10. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2} \]
11. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \approx 3.608 \] \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885 \] \[ y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \approx 5.983 \]
12. Наибольшее значение: \( y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \)

Ответ: 17/(4ln2)

Решение №3438: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \) на промежутке \( (2; +\infty] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \] Применим правило произведения для нахождения производной: \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(5 - 4x) + (5 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}(5 - 2x)^3 \] \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot (-4) + (5 - 4x) \cdot 3(5 - 2x)^2 \cdot (-2) \] \[ y' = -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 = 0 \] Вынесем \( (5 - 2x)^2 \) за скобки: \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -20 + 8x - 30 + 24x \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -50 + 32x \right] = 0 \] Решим уравнение \( (5 - 2x)^2 = 0 \): \[ 5 - 2x = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] Решим уравнение \( -50 + 32x = 0 \): \[ 32x = 50 \implies x = \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (2; +\infty] \):
\[ x = \frac{5}{2} \approx 2.5 \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{25}{16} \approx 1.5625 \quad \text{(не попадает)} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка:
\[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(5 - 2 \cdot \frac{5}{2}\right)^3 \left(5 - 4 \cdot \frac{5}{2}\right) = (5 - 5)^3 (5 - 10) = 0^3 (-5) = 0 \] \[ y(2) = (5 - 2 \cdot 2)^3 (5 - 4 \cdot 2) = (5 - 4)^3 (5 - 8) = 1^3 (-3) = -3 \] \[ y(+\infty) = (5 - 2 \cdot \infty)^3 (5 - 4 \cdot \infty) \rightarrow -\infty \]
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на промежутке:
Наименьшее значение: \( y(+\infty) = -\infty \)

Ответ: -3

Решение №6958: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x + \frac{4}{(x-2)^2} \) на отрезке \([0; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot (-2) \cdot (x-2)^{-3} \cdot \frac{d}{dx} (x-2) \] \[ y' = 1 - 8 \cdot (x-2)^{-3} \] \[ y' = 1 - \frac{8}{(x-2)^3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 - \frac{8}{(x-2)^3} = 0 \] \[ \frac{8}{(x-2)^3} = 1 \] \[ (x-2)^3 = 8 \] \[ x-2 = 2 \] \[ x = 4 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 5]\):
Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([0; 5]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 0 + \frac{4}{(0-2)^2} = 0 + \frac{4}{4} = 1 \] \[ y(4) = 4 + \frac{4}{(4-2)^2} = 4 + \frac{4}{4} = 5 \] \[ y(5) = 5 + \frac{4}{(5-2)^2} = 5 + \frac{4}{9} = 5 + \frac{4}{9} = 5.444\ldots \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(0) = 1 \] \[ y(4) = 5 \] \[ y(5) = 5.444\ldots \]
6. Наибольшее значение: \( y(5) = 5.444\ldots \)
7. Наименьшее значение: \( y(0) = 1 \)

Ответ: \underset{[0;5]}{max} y(x) не существует; \underset{[0;5]}{max} y(x) ; \underset{[0;5]}{min} y(x)=1

Решение №6959: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) на отрезке \([0; 9]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 9]\):
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в отрезок \([0; 9]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0 \] \[ y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \] \[ y(9) = 2\sqrt{9} - 9 = 2 \cdot 3 - 9 = 6 - 9 = -3 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = 1 \) Наименьшее значение: \( y(9) = -3 \)

Ответ: \underset{[0;9]}{max} y(x)=1; \underset{[0;9]}{min} y(x)=-3

Решение №6960: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = x^2 - 3x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ x^2 - 3x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x(x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 3 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\):
\[ x = 0 \text{ попадает в отрезок } [-1; 1] \] \[ x = 3 \text{ не попадает в отрезок } [-1; 1] \]
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{7}{6} \] \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1 \] \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{6} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = 1 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(-1) = -\frac{7}{6} \]

Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=1; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-\frac{1}{6}

Решение №6961: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -3x^3 - 9x^2 + 3 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^3 - 9x^2 + 3) = -9x^2 - 18x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -9x^2 - 18x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -9x(x + 2) = 0 \]
4. Получаем два корня: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\): Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-1) = -3(-1)^3 - 9(-1)^2 + 3 = 3 - 9 + 3 = -3 \] \[ y(0) = -3(0)^3 - 9(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -3(1)^3 - 9(1)^2 + 3 = -3 - 9 + 3 = -9 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-1) = -3 \] \[ y(0) = 3 \] \[ y(1) = -9 \]
8. Наибольшее значение: \( y(0) = 3 \)
9. Наименьшее значение: \( y(1) = -9 \)

Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=3; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-9

Решение №6963:

1. Найти производную функции \( y = \frac{x}{8} + \frac{2}{x} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{8} = \frac{2}{x^2} \]
4. Умножим обе части уравнения на \( 8x^2 \): \[ x^2 = 16 \]
5. Возьмем корень из обеих сторон: \[ x = \pm 4 \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 6]\): \[ x = 4 \quad \text{(попадает в отрезок)} \] \[ x = -4 \quad \text{(не попадает в отрезок)} \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{17}{8} \] \[ y(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ y(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(1) = \frac{17}{8} = 2.125 \] \[ y(4) = 1 \] \[ y(6) = \frac{13}{12} \approx 1.083 \]
9. Наибольшее значение: \( y(1) = \frac{17}{8} \)
10. Наименьшее значение: \( y(4) = 1 \)

Ответ: \underset{[1;6]}{max} y(x)=2\frac{1}{8}; \underset{[1;6]}{min} y(x)=1

Решение №6967: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(1 - x^2) = 0 \]
4. Разделить уравнение на два уравнения:
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0 \]
5. Решить уравнения относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
6. Полученные критические точки:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \] \[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(-1) = 4 \) и \( y(1) = 4 \)
Наименьшее значение: \( y(-2) = -5 \) и \( y(2) = -5 \)

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=4; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-5

Решение №7008: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x}{\ln x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \]
2. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} \]
3. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
4. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \): \[ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \]
7. Проверим, является ли точка \( x = e \) точкой экстремума, используя вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
8. Вычислим вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
9. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 1) - (\ln x - 1) \cdot \frac{d}{dx}((\ln x)^2)}{((\ln x)^2)^2} \]
10. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - 1) = \frac{1}{x} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((\ln x)^2) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \]
11. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \]
12. Упростим выражение: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - 2 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] \[ y' = \frac{-\ln x + 2}{x (\ln x)^3} \]
13. Оценим вторую производную в точке \( x = e \): \[ y'(e) = \frac{-\ln e + 2}{e (\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e} > 0 \]
14. Так как вторая производная положительна в точке \( x = e \), точка \( x = e \) является точкой минимума.

Ответ: x_{min}=e

Решение №7276: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{100 - x^2} \) на отрезке \([-6; 8]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию:
\[ y = \sqrt{100 - x^2} \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{100 - x^2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \] \[ -x = 0 \implies x = 0 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-6; 8]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-6; 8]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] \[ y(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ y(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y(8) = 6 \)

Ответ: 6

Решение №7291: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2x-1}} \) на отрезке \([\frac{3}{4}; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) = \frac{(2x)(2x-1) - x^2(2)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2x-1)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если: \[ 2x(x-1) = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) не попадает в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\), а точка \( x = 1 \) попадает.
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{3}{2} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 2}{1}} = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{\frac{1^2}{2 \cdot 1 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{2^2}{2 \cdot 2 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \] Сравним значения: \[ \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \approx 1.067 \] \[ \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \] Наибольшее значение: \( y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \)

Ответ: \underset{[\frac{3}{4};2]}{max} y(x)=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}; \underset{[\frac{3}{4};2]}{min} y(x)=1

Решение №7296: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sin x + \cos 2x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos 2x) = \cos x - 2 \sin 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \cos x - 2 \sin 2x = 0 \]
3. Используем тождество \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\[ \cos x - 2 \cdot 2 \sin x \cos x = 0 \] \[ \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \] \[ \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \]
4. Решить уравнение \( \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \):
\[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 4 \sin x = 0 \]
5. Решим каждое из уравнений:
\[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \] \[ 1 - 4 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \implies x = \arcsin \frac{1}{4} \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
\[ x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \arcsin \frac{1}{4} \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \sin 0 + \cos 2 \cdot 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0 \] \[ y(\pi) = \sin \pi + \cos 2 \pi = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sin \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) + \cos 2 \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{1}{4} + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \]
8. Используем тождество \( \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \):
\[ \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8} \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \] Наибольшее значение: \( y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \)

Ответ: 1.125

Решение №7306: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Она зависит от выражения под корнем \( \sqrt{6x - x^2 - 5} \).
\[ 6x - x^2 - 5 \geq 0 \]
2. Решим неравенство:
\[ -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \]
3. Приведем квадратное уравнение к стандартному виду: \[ x^2 - 6x + 5 \leq 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \]
5. Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]
6. Область допустимых значений: \[ 1 \leq x \leq 5 \]
7. Найти производную функции \( y \):
\[ y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \]
8. Рассмотрим два случая для \( |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| \):
9. Случай 1: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 \geq 0 \) \[ y = \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2 \]
10. Случай 2: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 < 0 \) \[ y = -(\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3) + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 3 + x^3 - 6x^2 \]
11. Найдем производную для первого случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x \]
12. Найдем производную для второго случая: \[ y' = \frac{d}{dx}(3 + x^3 - 6x^2) \] \[ y' = 3x^2 - 12x \]
13. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для обоих случаев.
14. Для первого случая: \[ \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = 0 \]
15. Для второго случая: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] \[ 3x(x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
16. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \( 1 \leq x \leq 5 \): Точка \( x = 0 \) не попадает в ОДЗ, а точка \( x = 4 \) попадает.
17. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(1) = |\sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} + 1^3 - 6 \cdot 1^2 = |0 - 3| + 0 + 1 - 6 = 3 + 0 + 1 - 6 = -2 \] \[ y(4) = |\sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} + 4^3 - 6 \cdot 4^2 = |0 - 3| + 0 + 64 - 96 = 3 + 0 + 64 - 96 = -29 \] \[ y(5) = |\sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} + 5^3 - 6 \cdot 5^2 = |0 - 3| + 0 + 125 - 150 = 3 + 0 + 125 - 150 = -22 \]
18. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ \text{Наибольшее значение: } y(1) = -2 \]

Ответ: -2

Решение №7307: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно:
\[ 20 - 5x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 \]
2. Упростить функцию, учитывая область допустимых значений:
\[ y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \]
3. Рассмотрим два случая для модуля:
4. Случай 1: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} \geq 0 \):
\[ y = 6 - \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = 6 + x^2 - 4x^3 \]
5. Случай 2: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} < 0 \):
\[ y = -(6 - \sqrt{20 - 5x^2}) + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 \]
6. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 \] \[ y' = \frac{d}{dx}(-6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 + \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) \] \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{20 - 5x^2}} \cdot (-10x) = -\frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ y' = 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} \]
7. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \] \[ x(2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}}) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \]
8. Решить уравнение \( 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \):
\[ 2 - 12x = \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} \] \[ \sqrt{20 - 5x^2}(2 - 12x) = 10 \] \[ 2\sqrt{20 - 5x^2} - 12x\sqrt{20 - 5x^2} = 10 \] \[ \sqrt{20 - 5x^2} = \frac{10}{2 - 12x} \] \[ 20 - 5x^2 = \left(\frac{10}{2 - 12x}\right)^2 \] \[ 20 - 5x^2 = \frac{100}{(2 - 12x)^2} \] \[ (20 - 5x^2)(2 - 12x)^2 = 100 \] \[ 400 - 200x^2 = 100 \] \[ 300 = 200x^2 \] \[ x^2 = \frac{3}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]
9. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\):
\[ x = 0, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] Все критические точки попадают в отрезок \([-2; 2]\).
10. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 5(-2)^2}| + (-2)^2 - 4(-2)^3 + \sqrt{20 - 5(-2)^2} \] \[ y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 + 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 + 32 = 42 \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 5(2)^2}| + (2)^2 - 4(2)^3 + \sqrt{20 - 5(2)^2} \] \[ y(2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 - 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 - 32 = -22 \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20 - 5(0)^2}| + (0)^2 - 4(0)^3 + \sqrt{20 - 5(0)^2} \] \[ y(0) = |6 - \sqrt{20}| + 0 + \sqrt{20} = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{\frac{25}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3\sqrt{2}}{4}) + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (-\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} + 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \]
11. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(-2) = 42 \] \[ y(2) = -22 \] \[ y(0) = 6 + \sqrt{20} \] \[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}} \]
12. Наибольшее значение: \( y(-2) = 42 \)

Ответ: 42

Решение №7310: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \] Для удобства, обозначим \( u = (2x - 1)^3 \) и \( v = 1 - 0.4x \). Тогда \( y = u \cdot v \). Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = u'v + uv' \] Найдем производные \( u \) и \( v \): \[ u = (2x - 1)^3 \implies u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2 \] \[ v = 1 - 0.4x \implies v' = -0.4 \] Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу производной произведения: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) + (2x - 1)^3 (-0.4) \] Упростим выражение: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 = 0 \] Вынесем общий множитель \( (2x - 1)^2 \): \[ (2x - 1)^2 \left[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) \right] = 0 \] Уравнение \( (2x - 1)^2 = 0 \) дает \( x = \frac{1}{2} \). Теперь решим второе уравнение: \[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) = 0 \] Упростим: \[ 6 - 2.4x - 0.8x + 0.4 = 0 \implies 6.4 - 3.2x = 0 \implies x = 2 \] Таким образом, критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \).
3. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot \frac{1}{2}) = 0 \] \[ y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot 2) = 3^3 \cdot (1 - 0.8) = 27 \cdot 0.2 = 5.4 \]
4. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции:
Наибольшее значение: \( y(2) = 5.4 \)

Ответ: 5.4

Решение №13211: Для нахождения критических точек функции \( y = 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( a^{u(x)} \): \[ \frac{d}{dx} \left( a^{u(x)} \right) = a^{u(x)} \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] Тогда: \[ \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} \right) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (2x+1) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot 2 \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 5^{x+3} \right) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (x+3) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] Таким образом: \[ y' = 2 \cdot 5^{2x+1} \ln(5) - 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] \[ y' = 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) = 0 \] Поскольку \( 2 \ln(5) \neq 0 \), то: \[ 5^{2x+1} - 5^{x+3} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 5^{2x+1} = 5^{x+3} \] Поскольку основания одинаковы, равенство показателей экспонент: \[ 2x + 1 = x + 3 \] \[ 2x - x = 3 - 1 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №13253: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{2}{x-1} + \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \frac{1}{1000}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1} + \frac{x}{2}\right) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) \] \[ y' = -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} = 0 \] \[ -\frac{2}{(x-1)^2} = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \] \[ (x-1)^2 = 4 \] \[ x-1 = \pm 2 \] \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\):
Критические точки \( x = 3 \) и \( x = -1 \) не попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{2}{0-1} + \frac{0}{2} = -2 \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000}-1} + \frac{\frac{1}{1000}}{2} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000} - \frac{1000}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{-\frac{999}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2 \cdot 1000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.002 + 0.0005 = -2.0015 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = -2 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.0015 \)

Ответ: \underset{[0;\frac{5}{2}]}{max} y(x)=\frac{31}{12}; \underset{[0;\frac{5}{2}]}{min} y(x)=-2

Решение №13254: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 4x^4 - 2x^2 - 5 \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x^4 - 2x^2 - 5) = 16x^3 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 16x^3 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(4x^2 - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 1 = 0 \]
5. Решить \( 4x = 0 \):
\[ x_1 = 0 \]
6. Решить \( 4x^2 - 1 = 0 \):
\[ 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_3 = -\frac{1}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x_1 = 0 \quad \text{попадает} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{попадает} \] \[ x_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{не попадает} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 4(0)^4 - 2(0)^2 - 5 = -5 \] \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -5.25 \] \[ y(2) = 4(2)^4 - 2(2)^2 - 5 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 5 = 64 - 8 - 5 = 51 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = 51 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(\frac{1}{2}\right) = -5.25 \]

Ответ: \underset{[0;2]}{max} y(x)=51; \underset{[0;2]}{min} y(x)=-5,25

Решение №13255: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 9x^2 + 12 \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 + 12) = -6x^2 - 18x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -6x^2 - 18x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ -6x(x + 3) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 3]\):
Критическая точка \( x = -3 \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = -2(0)^3 - 9(0)^2 + 12 = 12 \] \[ y(3) = -2(3)^3 - 9(3)^2 + 12 = -2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 12 = -54 - 81 + 12 = -123 \] \[ y(-3) \quad \text{(не попадает в отрезок)} \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(0) = 12 \)
Наименьшее значение: \( y(3) = -123 \)

Ответ: \underset{[0;3]}{max} y(x)=9; \underset{[0;3]}{min} y(x)=0

Решение №13260: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2(x - 2) \) на отрезке \([1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}[x^2(x - 2)] = \frac{d}{dx}[x^3 - 2x^2] = 3x^2 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ x(3x - 4) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 2]\):
\[ x = 0 \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [1; 2] \] \[ x = \frac{4}{3} \quad \text{попадает в отрезок} \quad [1; 2] \]
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = 1^2(1 - 2) = 1^2(-1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \left(\frac{16}{9}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 2^2(2 - 2) = 4 \cdot 0 = 0 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 0 \] Сравнивая значения, получаем: \[ -1 > -\frac{32}{27} \quad \text{и} \quad 0 > -1 \] Наибольшее значение: \( y(2) = 0 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \)

Ответ: \underset{[1;2]}{max} y(x)=0; \underset{[1;2]}{min} y(x)=-\frac{32}{27}

Решение №13262:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 2 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 + 12x - 2) = -6x^2 - 6x + 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -6x^2 - 6x + 12 = 0 \]
3. Упростим уравнение, разделив все члены на -6: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) методом разложения на множители:
\[ (x + 2)(x - 1) = 0 \]
5. Найдем корни уравнения: \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
6. Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 1]\): Критические точки \( x = -2 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 1]\).
7. Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-2) = -2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 12(-2) - 2 = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) - 2 = 16 - 12 - 24 - 2 = -22 \] \[ y(1) = -2(1)^3 - 3(1)^2 + 12(1) - 2 = -2 - 3 + 12 - 2 = 5 \] \[ y(-1) = -2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 12(-1) - 2 = -2(-1) - 3(1) + 12(-1) - 2 = 2 - 3 - 12 - 2 = -15 \]
8. Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-2) = -22, \quad y(1) = 5, \quad y(-1) = -15 \] Наибольшее значение: \( y(1) = 5 \) Наименьшее значение: \( y(-2) = -22 \)

Ответ: \underset{[-2;1]}{max} y(x)=9; \underset{[-2;1]}{min} y(x)=-54

Решение №13263: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x}{x - x^2 - 1} \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x - x^2 - 1} \right) \] Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x - x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (1 - 2x - 1)}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1 - x + 2x^2}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 - 1 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\):
Обе критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 2]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = \frac{-2}{-2 - (-2)^2 - 1} = \frac{-2}{-2 - 4 - 1} = \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7} \] \[ y(-1) = \frac{-1}{-1 - (-1)^2 - 1} = \frac{-1}{-1 - 1 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ y(1) = \frac{1}{1 - 1^2 - 1} = \frac{1}{1 - 1 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] \[ y(2) = \frac{2}{2 - 2^2 - 1} = \frac{2}{2 - 4 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Сравним значения: \[ y(-2) = \frac{2}{7} \approx 0.286 \] \[ y(-1) = \frac{1}{3} \approx 0.333 \] \[ y(1) = -1 \] \[ y(2) = -\frac{2}{3} \approx -0.667 \] Наибольшее значение: \( y(-1) = \frac{1}{3} \) Наименьшее значение: \( y(1) = -1 \)

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{1}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-1