Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{x}{x-x^{2}-1}\) на отрезке \([-2;2]\)

Ответ

\underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{1}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-1

Решение № 13263:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x}{x - x^2 - 1} \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x - x^2 - 1} \right) \] Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x - x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (1 - 2x - 1)}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1 - x + 2x^2}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 - 1 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\): </li> Обе критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 2]\). </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = \frac{-2}{-2 - (-2)^2 - 1} = \frac{-2}{-2 - 4 - 1} = \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7} \] \[ y(-1) = \frac{-1}{-1 - (-1)^2 - 1} = \frac{-1}{-1 - 1 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ y(1) = \frac{1}{1 - 1^2 - 1} = \frac{1}{1 - 1 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] \[ y(2) = \frac{2}{2 - 2^2 - 1} = \frac{2}{2 - 4 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Сравним значения: \[ y(-2) = \frac{2}{7} \approx 0.286 \] \[ y(-1) = \frac{1}{3} \approx 0.333 \] \[ y(1) = -1 \] \[ y(2) = -\frac{2}{3} \approx -0.667 \] Наибольшее значение: \( y(-1) = \frac{1}{3} \) Наименьшее значение: \( y(1) = -1 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{1}{3} \) <br> Наименьшее значение: \( -1 \)