Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-2x^{3}-3x^{2}+12x-2\) на отрезке \([-2;1]\)

Ответ

\underset{[-2;1]}{max} y(x)=9; \underset{[-2;1]}{min} y(x)=-54

Решение № 13262:

<ol> Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 2 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 + 12x - 2) = -6x^2 - 6x + 12 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -6x^2 - 6x + 12 = 0 \] <li> Упростим уравнение, разделив все члены на -6: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] </li> <li> Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) методом разложения на множители: </li> \[ (x + 2)(x - 1) = 0 \] <li> Найдем корни уравнения: \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] </li> <li> Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 1]\): Критические точки \( x = -2 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 1]\). </li> <li> Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-2) = -2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 12(-2) - 2 = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) - 2 = 16 - 12 - 24 - 2 = -22 \] \[ y(1) = -2(1)^3 - 3(1)^2 + 12(1) - 2 = -2 - 3 + 12 - 2 = 5 \] \[ y(-1) = -2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 12(-1) - 2 = -2(-1) - 3(1) + 12(-1) - 2 = 2 - 3 - 12 - 2 = -15 \] </li> <li> Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-2) = -22, \quad y(1) = 5, \quad y(-1) = -15 \] Наибольшее значение: \( y(1) = 5 \) Наименьшее значение: \( y(-2) = -22 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 5 \) <br> Наименьшее значение: \( -22 \)