Решение №3093: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{4}{3}x^3 - 4x \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3 - 4x\right) = 4x^2 - 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \implies \]
4. \[ 4x^2 = 4 \implies \]
5. \[ x^2 = 1 \implies \]
6. \[ x = \pm 1 \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x = 1 \quad \text{(попадает в отрезок \([0; 2]\))} \] \[ x = -1 \quad \text{(не попадает в отрезок \([0; 2]\))} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3} \] \[ y(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{4}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3} \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = \frac{8}{3} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -\frac{8}{3} \]

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{8}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-\frac{8}{3}

Решение №3438: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \) на промежутке \( (2; +\infty] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \] Применим правило произведения для нахождения производной: \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(5 - 4x) + (5 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}(5 - 2x)^3 \] \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot (-4) + (5 - 4x) \cdot 3(5 - 2x)^2 \cdot (-2) \] \[ y' = -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 = 0 \] Вынесем \( (5 - 2x)^2 \) за скобки: \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -20 + 8x - 30 + 24x \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -50 + 32x \right] = 0 \] Решим уравнение \( (5 - 2x)^2 = 0 \): \[ 5 - 2x = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] Решим уравнение \( -50 + 32x = 0 \): \[ 32x = 50 \implies x = \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (2; +\infty] \):
\[ x = \frac{5}{2} \approx 2.5 \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{25}{16} \approx 1.5625 \quad \text{(не попадает)} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка:
\[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(5 - 2 \cdot \frac{5}{2}\right)^3 \left(5 - 4 \cdot \frac{5}{2}\right) = (5 - 5)^3 (5 - 10) = 0^3 (-5) = 0 \] \[ y(2) = (5 - 2 \cdot 2)^3 (5 - 4 \cdot 2) = (5 - 4)^3 (5 - 8) = 1^3 (-3) = -3 \] \[ y(+\infty) = (5 - 2 \cdot \infty)^3 (5 - 4 \cdot \infty) \rightarrow -\infty \]
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на промежутке:
Наименьшее значение: \( y(+\infty) = -\infty \)

Ответ: -3

Решение №6958: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x + \frac{4}{(x-2)^2} \) на отрезке \([0; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{(x-2)^2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-2} \right) \] \[ y' = 1 + 4 \cdot (-2) \cdot (x-2)^{-3} \cdot \frac{d}{dx} (x-2) \] \[ y' = 1 - 8 \cdot (x-2)^{-3} \] \[ y' = 1 - \frac{8}{(x-2)^3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 - \frac{8}{(x-2)^3} = 0 \] \[ \frac{8}{(x-2)^3} = 1 \] \[ (x-2)^3 = 8 \] \[ x-2 = 2 \] \[ x = 4 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 5]\):
Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([0; 5]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 0 + \frac{4}{(0-2)^2} = 0 + \frac{4}{4} = 1 \] \[ y(4) = 4 + \frac{4}{(4-2)^2} = 4 + \frac{4}{4} = 5 \] \[ y(5) = 5 + \frac{4}{(5-2)^2} = 5 + \frac{4}{9} = 5 + \frac{4}{9} = 5.444\ldots \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(0) = 1 \] \[ y(4) = 5 \] \[ y(5) = 5.444\ldots \]
6. Наибольшее значение: \( y(5) = 5.444\ldots \)
7. Наименьшее значение: \( y(0) = 1 \)

Ответ: \underset{[0;5]}{max} y(x) не существует; \underset{[0;5]}{max} y(x) ; \underset{[0;5]}{min} y(x)=1

Решение №6960: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = x^2 - 3x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ x^2 - 3x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x(x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 3 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\):
\[ x = 0 \text{ попадает в отрезок } [-1; 1] \] \[ x = 3 \text{ не попадает в отрезок } [-1; 1] \]
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{7}{6} \] \[ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1 \] \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{6} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = 1 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(-1) = -\frac{7}{6} \]

Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=1; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-\frac{1}{6}

Решение №6961: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -3x^3 - 9x^2 + 3 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^3 - 9x^2 + 3) = -9x^2 - 18x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -9x^2 - 18x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -9x(x + 2) = 0 \]
4. Получаем два корня: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\): Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-1) = -3(-1)^3 - 9(-1)^2 + 3 = 3 - 9 + 3 = -3 \] \[ y(0) = -3(0)^3 - 9(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -3(1)^3 - 9(1)^2 + 3 = -3 - 9 + 3 = -9 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-1) = -3 \] \[ y(0) = 3 \] \[ y(1) = -9 \]
8. Наибольшее значение: \( y(0) = 3 \)
9. Наименьшее значение: \( y(1) = -9 \)

Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=3; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-9

Решение №6963:

1. Найти производную функции \( y = \frac{x}{8} + \frac{2}{x} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{8} = \frac{2}{x^2} \]
4. Умножим обе части уравнения на \( 8x^2 \): \[ x^2 = 16 \]
5. Возьмем корень из обеих сторон: \[ x = \pm 4 \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 6]\): \[ x = 4 \quad \text{(попадает в отрезок)} \] \[ x = -4 \quad \text{(не попадает в отрезок)} \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{17}{8} \] \[ y(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ y(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(1) = \frac{17}{8} = 2.125 \] \[ y(4) = 1 \] \[ y(6) = \frac{13}{12} \approx 1.083 \]
9. Наибольшее значение: \( y(1) = \frac{17}{8} \)
10. Наименьшее значение: \( y(4) = 1 \)

Ответ: \underset{[1;6]}{max} y(x)=2\frac{1}{8}; \underset{[1;6]}{min} y(x)=1

Решение №6967: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(1 - x^2) = 0 \]
4. Разделить уравнение на два уравнения:
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0 \]
5. Решить уравнения относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
6. Полученные критические точки:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \] \[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(-1) = 4 \) и \( y(1) = 4 \)
Наименьшее значение: \( y(-2) = -5 \) и \( y(2) = -5 \)

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=4; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-5

Решение №7310: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \] Для удобства, обозначим \( u = (2x - 1)^3 \) и \( v = 1 - 0.4x \). Тогда \( y = u \cdot v \). Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = u'v + uv' \] Найдем производные \( u \) и \( v \): \[ u = (2x - 1)^3 \implies u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2 \] \[ v = 1 - 0.4x \implies v' = -0.4 \] Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу производной произведения: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) + (2x - 1)^3 (-0.4) \] Упростим выражение: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 = 0 \] Вынесем общий множитель \( (2x - 1)^2 \): \[ (2x - 1)^2 \left[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) \right] = 0 \] Уравнение \( (2x - 1)^2 = 0 \) дает \( x = \frac{1}{2} \). Теперь решим второе уравнение: \[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) = 0 \] Упростим: \[ 6 - 2.4x - 0.8x + 0.4 = 0 \implies 6.4 - 3.2x = 0 \implies x = 2 \] Таким образом, критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \).
3. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot \frac{1}{2}) = 0 \] \[ y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot 2) = 3^3 \cdot (1 - 0.8) = 27 \cdot 0.2 = 5.4 \]
4. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции:
Наибольшее значение: \( y(2) = 5.4 \)

Ответ: 5.4

Решение №13253: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{2}{x-1} + \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \frac{1}{1000}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1} + \frac{x}{2}\right) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) \] \[ y' = -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} = 0 \] \[ -\frac{2}{(x-1)^2} = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \] \[ (x-1)^2 = 4 \] \[ x-1 = \pm 2 \] \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\):
Критические точки \( x = 3 \) и \( x = -1 \) не попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{2}{0-1} + \frac{0}{2} = -2 \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000}-1} + \frac{\frac{1}{1000}}{2} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000} - \frac{1000}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{-\frac{999}{1000}} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2 \cdot 1000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2000}{999} + \frac{1}{2000} \] \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.002 + 0.0005 = -2.0015 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = -2 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.0015 \)

Ответ: \underset{[0;\frac{5}{2}]}{max} y(x)=\frac{31}{12}; \underset{[0;\frac{5}{2}]}{min} y(x)=-2

Решение №13254: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 4x^4 - 2x^2 - 5 \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x^4 - 2x^2 - 5) = 16x^3 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 16x^3 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(4x^2 - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 1 = 0 \]
5. Решить \( 4x = 0 \):
\[ x_1 = 0 \]
6. Решить \( 4x^2 - 1 = 0 \):
\[ 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_3 = -\frac{1}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x_1 = 0 \quad \text{попадает} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{попадает} \] \[ x_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{не попадает} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 4(0)^4 - 2(0)^2 - 5 = -5 \] \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -5.25 \] \[ y(2) = 4(2)^4 - 2(2)^2 - 5 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 5 = 64 - 8 - 5 = 51 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = 51 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(\frac{1}{2}\right) = -5.25 \]

Ответ: \underset{[0;2]}{max} y(x)=51; \underset{[0;2]}{min} y(x)=-5,25

Решение №13255: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 9x^2 + 12 \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 + 12) = -6x^2 - 18x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -6x^2 - 18x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ -6x(x + 3) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 3]\):
Критическая точка \( x = -3 \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = -2(0)^3 - 9(0)^2 + 12 = 12 \] \[ y(3) = -2(3)^3 - 9(3)^2 + 12 = -2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 12 = -54 - 81 + 12 = -123 \] \[ y(-3) \quad \text{(не попадает в отрезок)} \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(0) = 12 \)
Наименьшее значение: \( y(3) = -123 \)

Ответ: \underset{[0;3]}{max} y(x)=9; \underset{[0;3]}{min} y(x)=0

Решение №13260: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2(x - 2) \) на отрезке \([1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}[x^2(x - 2)] = \frac{d}{dx}[x^3 - 2x^2] = 3x^2 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ x(3x - 4) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 2]\):
\[ x = 0 \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [1; 2] \] \[ x = \frac{4}{3} \quad \text{попадает в отрезок} \quad [1; 2] \]
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = 1^2(1 - 2) = 1^2(-1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \left(\frac{16}{9}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 2^2(2 - 2) = 4 \cdot 0 = 0 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 0 \] Сравнивая значения, получаем: \[ -1 > -\frac{32}{27} \quad \text{и} \quad 0 > -1 \] Наибольшее значение: \( y(2) = 0 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \)

Ответ: \underset{[1;2]}{max} y(x)=0; \underset{[1;2]}{min} y(x)=-\frac{32}{27}

Решение №13262:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 + 12x - 2 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 + 12x - 2) = -6x^2 - 6x + 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -6x^2 - 6x + 12 = 0 \]
3. Упростим уравнение, разделив все члены на -6: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) методом разложения на множители:
\[ (x + 2)(x - 1) = 0 \]
5. Найдем корни уравнения: \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
6. Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 1]\): Критические точки \( x = -2 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 1]\).
7. Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(-2) = -2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 12(-2) - 2 = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) - 2 = 16 - 12 - 24 - 2 = -22 \] \[ y(1) = -2(1)^3 - 3(1)^2 + 12(1) - 2 = -2 - 3 + 12 - 2 = 5 \] \[ y(-1) = -2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 12(-1) - 2 = -2(-1) - 3(1) + 12(-1) - 2 = 2 - 3 - 12 - 2 = -15 \]
8. Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y(-2) = -22, \quad y(1) = 5, \quad y(-1) = -15 \] Наибольшее значение: \( y(1) = 5 \) Наименьшее значение: \( y(-2) = -22 \)

Ответ: \underset{[-2;1]}{max} y(x)=9; \underset{[-2;1]}{min} y(x)=-54

Решение №13263: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x}{x - x^2 - 1} \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x - x^2 - 1} \right) \] Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x - x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (1 - 2x - 1)}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1 - x + 2x^2}{(x - x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 1}{(x - x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 - 1 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\):
Обе критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в отрезок \([-2; 2]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = \frac{-2}{-2 - (-2)^2 - 1} = \frac{-2}{-2 - 4 - 1} = \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7} \] \[ y(-1) = \frac{-1}{-1 - (-1)^2 - 1} = \frac{-1}{-1 - 1 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ y(1) = \frac{1}{1 - 1^2 - 1} = \frac{1}{1 - 1 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] \[ y(2) = \frac{2}{2 - 2^2 - 1} = \frac{2}{2 - 4 - 1} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Сравним значения: \[ y(-2) = \frac{2}{7} \approx 0.286 \] \[ y(-1) = \frac{1}{3} \approx 0.333 \] \[ y(1) = -1 \] \[ y(2) = -\frac{2}{3} \approx -0.667 \] Наибольшее значение: \( y(-1) = \frac{1}{3} \) Наименьшее значение: \( y(1) = -1 \)

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{1}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-1

Решение №13266: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^4 - 2x^2 \) на отрезке \([-3; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x^3 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(x^2 - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \]
5. Получаем три критические точки:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-3; 3]\):
Все критические точки \( x = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = -1 \) попадают в отрезок \([-3; 3]\).
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 = 81 - 18 = 63 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \] \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \] \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \] \[ y(3) = 3^4 - 2(3)^2 = 81 - 18 = 63 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(-3) = 63 \) и \( y(3) = 63 \)
Наименьшее значение: \( y(-1) = -1 \) и \( y(1) = -1 \)

Ответ: \underset{[-3;3]}{max} y(x)=63; \underset{[-3;3]}{min} y(x)=-1

Решение №13267: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x^2}{x+5} \) на отрезке \([4; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+5}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2)'(x+5) - (x^2)(x+5)'}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x+5) - x^2}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 10x - x^2}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2} = 0 \] \[ x^2 + 10x = 0 \] \[ x(x + 10) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -10 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([4; 1]\):
\[ x = 0 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [4; 1] \] \[ x = -10 \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [4; 1] \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{0^2}{0+5} = 0 \] \[ y(1) = \frac{1^2}{1+5} = \frac{1}{6} \] \[ y(4) = \frac{4^2}{4+5} = \frac{16}{9} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{1}{6} \] \[ y(4) = \frac{16}{9} \] \[ \text{Наибольшее значение: } y(4) = \frac{16}{9} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(0) = 0 \]

Ответ: \underset{[-4;1]}{max} y(x)=16; \underset{[-4;1]}{min} y(x)=0

Решение №13607: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (x^2 + 2x - 3)^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 2x - 3)^3 \right) \] Используем формулу для производной сложной функции: \[ y' = 3(x^2 + 2x - 3)^2 \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) \] \[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) = 2x + 2 \] Таким образом, \[ y' = 3(x^2 + 2x - 3)^2 (2x + 2) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3(x^2 + 2x - 3)^2 (2x + 2) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если либо \( (x^2 + 2x - 3)^2 = 0 \), либо \( 2x + 2 = 0 \).
3. Решить уравнение \( (x^2 + 2x - 3)^2 = 0 \):
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
4. Решить уравнение \( 2x + 2 = 0 \):
\[ 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1 \]
5. Проверить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y(1) = (1^2 + 2 \cdot 1 - 3)^3 = (1 + 2 - 3)^3 = 0^3 = 0 \] \[ y(-3) = ((-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3)^3 = (9 - 6 - 3)^3 = 0^3 = 0 \] \[ y(-1) = ((-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3)^3 = (1 - 2 - 3)^3 = (-4)^3 = -64 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции:
Наименьшее значение: \( y(-1) = -64 \)

Ответ: -64

Решение №13608: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (0.2x + 1)^5 \cdot (5 - 2x) \) на промежутке \( (-\infty; 0] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = (0.2x + 1)^5 \cdot (5 - 2x) \] Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ (0.2x + 1)^5 \right] \cdot (5 - 2x) + (0.2x + 1)^5 \cdot \frac{d}{dx} \left[ (5 - 2x) \right] \] \[ y' = 5(0.2x + 1)^4 \cdot 0.2 \cdot (5 - 2x) + (0.2x + 1)^5 \cdot (-2) \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ (0.2 \cdot 5 - 0.2 \cdot 2x) + (0.2x + 1) \cdot (-2) \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ 1 - 0.4x - 2(0.2x + 1) \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ 1 - 0.4x - 0.4x - 2 \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ -1 - 0.8x \right] \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ (0.2x + 1)^4 \left[ -1 - 0.8x \right] = 0 \] Это уравнение равно нулю, если либо \( (0.2x + 1)^4 = 0 \), либо \( -1 - 0.8x = 0 \). Решим каждое из них: \[ (0.2x + 1)^4 = 0 \implies 0.2x + 1 = 0 \implies x = -5 \] \[ -1 - 0.8x = 0 \implies 0.8x = -1 \implies x = -\frac{5}{4} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (-\infty; 0] \):
Обе критические точки \( x = -5 \) и \( x = -\frac{5}{4} \) попадают в промежуток \( (-\infty; 0] \).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на конце промежутка:
\[ y(-5) = (0.2(-5) + 1)^5 \cdot (5 - 2(-5)) = (0)^5 \cdot 15 = 0 \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(0.2\left(-\frac{5}{4}\right) + 1\right)^5 \cdot \left(5 - 2\left(-\frac{5}{4}\right)\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4} + 1\right)^5 \cdot \left(5 + \frac{5}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{15}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(\frac{243}{1024}\right) \cdot \left(\frac{15}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{243 \cdot 15}{1024 \cdot 2} = \frac{3645}{2048} \] \[ y(0) = (0.2(0) + 1)^5 \cdot (5 - 2(0)) = 1^5 \cdot 5 = 5 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на промежутке:
Наибольшее значение: \( y(0) = 5 \)

Ответ: 5

Решение №43608: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^8 - 1 \) на отрезке \([-1; 2]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить значение функции на концах отрезка:
2. \( y(-1) = (-1)^8 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
3. \( y(2) = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \)
4. Проверить значение функции внутри отрезка:
5. \( y(0) = 0^8 - 1 = 0 - 1 = -1 \)
6. Сравнить полученные значения:
7. Наибольшее значение: \( y(2) = 255 \)
8. Наименьшее значение: \( y(0) = -1 \)

Ответ: 225;-1

Решение №43609: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^5 + 2 \) на отрезке \([-2; 1]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить значения функции на концах отрезка:
\[ y(-2) = -(-2)^5 + 2 = 32 + 2 = 34 \] \[ y(1) = -(1)^5 + 2 = -1 + 2 = 1 \]
2. Определить значения функции в некоторых промежуточных точках отрезка для более точного анализа:
\[ y(0) = -(0)^5 + 2 = 2 \] \[ y(0.5) = -(0.5)^5 + 2 = -0.03125 + 2 = 1.96875 \] \[ y(-1) = -(-1)^5 + 2 = 1 + 2 = 3 \] \[ y(-1.5) = -(-1.5)^5 + 2 = 7.59375 + 2 = 9.59375 \]
3. Сравнить все полученные значения функции:
\[ y(-2) = 34, \quad y(1) = 1, \quad y(0) = 2, \quad y(0.5) = 1.96875, \quad y(-1) = 3, \quad y(-1.5) = 9.59375 \]
4. Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(-2) = 34 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = 1 \]

Ответ: 34;1

Решение №43610: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^3 - 4 \) на отрезке \([0; 3]\) без помощи производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить значения функции на концах отрезка:
\[ y(0) = 0^3 - 4 = -4 \] \[ y(3) = 3^3 - 4 = 27 - 4 = 23 \]
2. Проанализировать поведение функции на отрезке \([0; 3]\):
\[ y = x^3 - 4 \text{ — это непрерывная и монотонно возрастающая функция на всем отрезке } [0; 3]. \] \[ \text{Поскольку функция монотонно возрастает, ее наибольшее значение будет в правой точке отрезка, а наименьшее — в левой точке отрезка.} \]
3. Сравнить значения функции на концах отрезка и определить наибольшее и наименьшее значения:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(3) = 23 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(0) = -4 \]

Ответ: 23;-4

Решение №43611: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^4 + 8 \) на отрезке \([0; 3]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить значения функции на концах отрезка:
\[ y(0) = -2(0)^4 + 8 = 8 \] \[ y(3) = -2(3)^4 + 8 = -2 \cdot 81 + 8 = -162 + 8 = -154 \]
2. Исследовать поведение функции на отрезке \([0; 3]\):
\[ y = -2x^4 + 8 \] Функция \( -2x^4 \) убывает при увеличении \( x \), так как \( x^4 \) возрастает, а коэффициент \(-2\) отрицателен.
3. Определить наибольшее значение функции на отрезке \([0; 3]\):
Так как функция убывает, наибольшее значение будет в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = 8 \]
4. Определить наименьшее значение функции на отрезке \([0; 3]\):
Наименьшее значение будет в точке \( x = 3 \): \[ y(3) = -154 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = 8 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(3) = -154 \]

Ответ: 8;-154

Решение №43612: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = (x-1)^3 + 4 \) на отрезке \([-2; 1]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = (x-1)^3 + 4 \).
2. Найдём значения функции на концах отрезка \([-2; 1]\): \[ y(-2) = (-2-1)^3 + 4 = (-3)^3 + 4 = -27 + 4 = -23 \] \[ y(1) = (1-1)^3 + 4 = 0^3 + 4 = 4 \]
3. Рассмотрим поведение функции внутри отрезка \([-2; 1]\). Функция \( (x-1)^3 \) является кубической функцией, и её график имеет одну точку перегиба.
4. Для кубической функции \( (x-1)^3 \) точка перегиба находится в точке \( x = 1 \), но эта точка не входит в рассматриваемый отрезок \([-2; 1]\).
5. Проверим значения функции в некоторых промежуточных точках, чтобы убедиться, что мы не пропустили экстремумы: \[ y(-1) = (-1-1)^3 + 4 = (-2)^3 + 4 = -8 + 4 = -4 \] \[ y(0) = (0-1)^3 + 4 = (-1)^3 + 4 = -1 + 4 = 3 \] \[ y(0.5) = (0.5-1)^3 + 4 = (-0.5)^3 + 4 = -0.125 + 4 = 3.875 \]
6. Сравним все полученные значения функции: \[ y(-2) = -23, \quad y(-1) = -4, \quad y(0) = 3, \quad y(0.5) = 3.875, \quad y(1) = 4 \]
7. Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-2; 1]\): \[ \text{Наименьшее значение: } y(-2) = -23 \] \[ \text{Наибольшее значение: } y(1) = 4 \]

Ответ: \(y_{наиб}=4\),\(y_{наим}=-23\).

Решение №43613: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 7 - (2x - 8)^4 \) на отрезке \([-1; 3]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить аналитическое выражение функции:
\[ y = 7 - (2x - 8)^4 \]
2. Вычислить значения функции на концах отрезка \([-1; 3]\):
\[ y(-1) = 7 - (2(-1) - 8)^4 = 7 - (-10)^4 = 7 - 10000 = -9993 \] \[ y(3) = 7 - (2(3) - 8)^4 = 7 - (-2)^4 = 7 - 16 = -9 \]
3. Рассмотреть поведение функции внутри отрезка \([-1; 3]\):
\[ \text{Функция } y = 7 - (2x - 8)^4 \text{ является полиномиальной функцией четной степени, которая имеет симметрию относительно вертикальной оси.} \] \[ \text{Минимум функции достигается при } 2x - 8 = 0 \implies x = 4. \text{ Однако, } x = 4 \text{ не попадает в отрезок \([-1; 3]\).} \]
4. Вычислить значение функции в точке симметрии \( x = 4 \):
\[ y(4) = 7 - (2(4) - 8)^4 = 7 - 0^4 = 7 \]
5. Сравнить значения функции на концах отрезка и в точке симметрии:
\[ y(-1) = -9993 \] \[ y(3) = -9 \] \[ y(4) = 7 \text{ (не учитывается, так как } x = 4 \text{ не попадает в отрезок \([-1; 3]\))} \]
6. Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 3]\):
\[ \text{Наибольшее значение: } y(3) = -9 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(-1) = -9993 \]

Ответ: \(y_{наиб}=-9\),\(y_{наим}=-9993\).

Решение №43614: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 5 - (3x + 6) \) на отрезке \([-2; 0]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить функцию \( y \):
\[ y = 5 - (3x + 6) = 5 - 3x - 6 = -3x - 1 \]
2. Определить, что функция \( y = -3x - 1 \) является линейной функцией. Линейные функции монотонны, то есть они либо возрастают, либо убывают на всем своем определении.
3. Определить направление монотонности функции:
\[ \text{Коэффициент при } x \text{ равен } -3, \text{ что означает, что функция убывает на всем отрезке } [-2; 0]. \]
4. Вычислить значения функции на концах отрезка:
\[ y(-2) = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5 \] \[ y(0) = -3(0) - 1 = -1 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(-2) = 5 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(0) = -1 \]

Ответ: \(y_{наиб}=5\),\(y_{наим}=-1\).

Решение №43615: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 2(x+3)^6 - 4 \) на отрезке \([-1; 2]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исследовать поведение функции на отрезке \([-1; 2]\).
2. Вычислить значения функции на концах отрезка.
\[ y(-1) = 2(-1+3)^6 - 4 = 2(2)^6 - 4 = 2 \cdot 64 - 4 = 128 - 4 = 124 \] \[ y(2) = 2(2+3)^6 - 4 = 2(5)^6 - 4 = 2 \cdot 15625 - 4 = 31250 - 4 = 31246 \]
3. Исследовать монотонность функции. Функция \( y = 2(x+3)^6 - 4 \) является монотонно возрастающей на всем отрезке \([-1; 2]\), так как \( (x+3)^6 \) возрастает при увеличении \( x \).
4. Сравнить значения функции на концах отрезка.
\[ y(-1) = 124 \] \[ y(2) = 31246 \]
5. Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 2]\).
Наибольшее значение: \( y(2) = 31246 \) Наименьшее значение: \( y(-1) = 124 \)

Ответ: \(y_{наиб}=31246\),\(y_{наим}=124\).

Решение №43628: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \) на отрезке \([-3; 0]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию на каждом из интервалов отдельно.
2. Для \( x < 2 \): \[ y = -4x + 12 \]
3. Найдем значения функции на концах отрезка \([-3; 0]\): \[ y(-3) = -4(-3) + 12 = 12 + 12 = 24 \] \[ y(0) = -4(0) + 12 = 12 \]
4. Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ y' = -4 \] Поскольку производная постоянна и отрицательна, критических точек нет.
5. Для \( x \geq 2 \): \[ y = x^2 - 2x + 2 \]
6. Найдем значения функции на концах отрезка \([-3; 0]\): \[ y(2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \] \[ y(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2 \]
7. Найдем производную функции \( y \): \[ y' = 2x - 2 \]
8. Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]
9. Найдем значение функции в критической точке: \[ y(1) = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \]
10. Сравним полученные значения: \[ y(-3) = 24, \quad y(0) = 12, \quad y(2) = 2, \quad y(1) = 1 \]
11. Наибольшее значение: \( y(-3) = 24 \)
12. Наименьшее значение: \( y(1) = 1 \)

Ответ: \(y_{наиб}=24\),\(y_{наим}=12\).

Решение №43629: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \left\{\begin{matrix} -4x + 12, \text{ если } x < 2, \\ x^2 - 2x + 2, \text{ если } x \geq 2 \end{matrix}\right. \) на отрезке \([3; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, какая часть функции действует на отрезке \([3; 4]\):

Поскольку \( x \geq 2 \) на всем отрезке \([3; 4]\), используем функцию \( y = x^2 - 2x + 2 \).

2. Найти производную функции \( y = x^2 - 2x + 2 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]

Критическая точка \( x = 1 \) не попадает в отрезок \([3; 4]\).

4. Вычислить значения функции \( y = x^2 - 2x + 2 \) на концах отрезка \([3; 4]\):
\[ y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5 \] \[ y(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(4) = 10 \)

Наименьшее значение: \( y(3) = 5 \)

Ответ: \(y_{наиб}=10\),\(y_{наим}=5\).

Решение №43630: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить отрезок на две части в зависимости от условия функции:
• Для \( x < 2 \): \( y = -4x + 12 \)
• Для \( x \geq 2 \): \( y = x^2 - 2x + 2 \)
2. Найти производные функций на каждом из отрезков:
• Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-4x + 12) = -4 \]
• Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
• Для \( y = -4x + 12 \): \[ -4 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \]
• Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] Однако \( x = 1 \) не попадает в отрезок \( x \geq 2 \).
4. Проверить значения функции на концах отрезков и в точке \( x = 2 \):
• Для \( x = -1 \): \[ y = -4(-1) + 12 = 4 + 12 = 16 \]
• Для \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \]
• Для \( x = 3 \): \[ y = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
• Значения функции: \( y(-1) = 16 \), \( y(2) = 2 \), \( y(3) = 5 \)
• Наибольшее значение: \( 16 \)
• Наименьшее значение: \( 2 \)

Ответ: \(y_{наиб}=16\),\(y_{наим}=2\).

Решение №43631: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y \), заданной как: \[ y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \] на отрезке \([-1; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим отрезок \([-1; 4]\) на два подынтервала: \([-1; 2)\) и \([2; 4]\).
2. Найдем производные для каждой части функции: Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-4x + 12) = -4 \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \]
3. Найдем критические точки для каждой части функции: Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = -4 \neq 0 \quad \text{(нет критических точек)} \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]
4. Критическая точка \( x = 1 \) не попадает в интервал \([2; 4]\), поэтому её не учитываем.
5. Вычислим значения функции на концах отрезков и в точке \( x = 2 \): Для \( y = -4x + 12 \) на интервале \([-1; 2)\): \[ y(-1) = -4(-1) + 12 = 4 + 12 = 16 \] \[ y(2) = -4(2) + 12 = -8 + 12 = 4 \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \) на интервале \([2; 4]\): \[ y(2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \] \[ y(4) = 4^2 - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10 \]
6. Сравним полученные значения: \[ y(-1) = 16, \quad y(2) = 4, \quad y(2) = 2, \quad y(4) = 10 \]
7. Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 4]\):
   Наибольшее значение: \( y(-1) = 16 \)
   Наименьшее значение: \( y(2) = 2 \)

Ответ: \(y_{наиб}=10\),\(y_{наим}=2\).