Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции \(y=(x^{2}+2x-3)^{3}\)

Ответ

-64

Решение № 13607:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (x^2 + 2x - 3)^3 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 2x - 3)^3 \right) \] Используем формулу для производной сложной функции: \[ y' = 3(x^2 + 2x - 3)^2 \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) \] \[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) = 2x + 2 \] Таким образом, \[ y' = 3(x^2 + 2x - 3)^2 (2x + 2) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 3(x^2 + 2x - 3)^2 (2x + 2) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если либо \( (x^2 + 2x - 3)^2 = 0 \), либо \( 2x + 2 = 0 \). <li> Решить уравнение \( (x^2 + 2x - 3)^2 = 0 \): </li> \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] <li> Решить уравнение \( 2x + 2 = 0 \): </li> \[ 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1 \] <li> Проверить значения функции \( y \) в критических точках: </li> \[ y(1) = (1^2 + 2 \cdot 1 - 3)^3 = (1 + 2 - 3)^3 = 0^3 = 0 \] \[ y(-3) = ((-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3)^3 = (9 - 6 - 3)^3 = 0^3 = 0 \] \[ y(-1) = ((-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3)^3 = (1 - 2 - 3)^3 = (-4)^3 = -64 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции: </li> Наименьшее значение: \( y(-1) = -64 \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( -64 \)