Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=7-(2x-8)^4\), \([-1;3]\).

Ответ

\(y_{наиб}=-9\),\(y_{наим}=-9993\).

Решение № 43613:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 7 - (2x - 8)^4 \) на отрезке \([-1; 3]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить аналитическое выражение функции: </li> \[ y = 7 - (2x - 8)^4 \] <li> Вычислить значения функции на концах отрезка \([-1; 3]\): </li> \[ y(-1) = 7 - (2(-1) - 8)^4 = 7 - (-10)^4 = 7 - 10000 = -9993 \] \[ y(3) = 7 - (2(3) - 8)^4 = 7 - (-2)^4 = 7 - 16 = -9 \] <li> Рассмотреть поведение функции внутри отрезка \([-1; 3]\): </li> \[ \text{Функция } y = 7 - (2x - 8)^4 \text{ является полиномиальной функцией четной степени, которая имеет симметрию относительно вертикальной оси.} \] \[ \text{Минимум функции достигается при } 2x - 8 = 0 \implies x = 4. \text{ Однако, } x = 4 \text{ не попадает в отрезок \([-1; 3]\).} \] <li> Вычислить значение функции в точке симметрии \( x = 4 \): </li> \[ y(4) = 7 - (2(4) - 8)^4 = 7 - 0^4 = 7 \] <li> Сравнить значения функции на концах отрезка и в точке симметрии: </li> \[ y(-1) = -9993 \] \[ y(3) = -9 \] \[ y(4) = 7 \text{ (не учитывается, так как } x = 4 \text{ не попадает в отрезок \([-1; 3]\))} \] <li> Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 3]\): </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(3) = -9 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(-1) = -9993 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( -9 \) <br> Наименьшее значение: \( -9993 \)