Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{x^{2}}{x+5}\) на отрезке \([4;1]\)

Ответ

\underset{[-4;1]}{max} y(x)=16; \underset{[-4;1]}{min} y(x)=0

Решение № 13267:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{x^2}{x+5} \) на отрезке \([4; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+5}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2)'(x+5) - (x^2)(x+5)'}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x+5) - x^2}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 10x - x^2}{(x+5)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{x^2 + 10x}{(x+5)^2} = 0 \] \[ x^2 + 10x = 0 \] \[ x(x + 10) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -10 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([4; 1]\): </li> \[ x = 0 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [4; 1] \] \[ x = -10 \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [4; 1] \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \frac{0^2}{0+5} = 0 \] \[ y(1) = \frac{1^2}{1+5} = \frac{1}{6} \] \[ y(4) = \frac{4^2}{4+5} = \frac{16}{9} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ y(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{1}{6} \] \[ y(4) = \frac{16}{9} \] \[ \text{Наибольшее значение: } y(4) = \frac{16}{9} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(0) = 0 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{16}{9} \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)