Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения функции \(y= \(\left\{\begin{matrix} -4x+12, если x<2,\\x^2-2x+2,если x\geq 2 \end{matrix}\right.\) на отрезке: \([-1;4\]\).

Ответ

\(y_{наиб}=10\),\(y_{наим}=2\).

Решение № 43631:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y \), заданной как: \[ y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \] на отрезке \([-1; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделим отрезок \([-1; 4]\) на два подынтервала: \([-1; 2)\) и \([2; 4]\). </li> <li> Найдем производные для каждой части функции: Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-4x + 12) = -4 \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \] </li> <li> Найдем критические точки для каждой части функции: Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = -4 \neq 0 \quad \text{(нет критических точек)} \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] </li> <li> Критическая точка \( x = 1 \) не попадает в интервал \([2; 4]\), поэтому её не учитываем. </li> <li> Вычислим значения функции на концах отрезков и в точке \( x = 2 \): Для \( y = -4x + 12 \) на интервале \([-1; 2)\): \[ y(-1) = -4(-1) + 12 = 4 + 12 = 16 \] \[ y(2) = -4(2) + 12 = -8 + 12 = 4 \] Для \( y = x^2 - 2x + 2 \) на интервале \([2; 4]\): \[ y(2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \] \[ y(4) = 4^2 - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10 \] </li> <li> Сравним полученные значения: \[ y(-1) = 16, \quad y(2) = 4, \quad y(2) = 2, \quad y(4) = 10 \] </li> <li> Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1; 4]\): <br> Наибольшее значение: \( y(-1) = 16 \) <br> Наименьшее значение: \( y(2) = 2 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 16 \) <br> Наименьшее значение: \( 2 \)