Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения функции \(y= \left\{\begin{matrix} -4x+12, если x<2,\\x^2-2x+2,если x\geq 2 \end{matrix}\right.\) на отрезке: \([-1;3]\).

Ответ

\(y_{наиб}=16\),\(y_{наим}=2\).

Решение № 43630:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить отрезок на две части в зависимости от условия функции: </li> <ul> <li> Для \( x < 2 \): \( y = -4x + 12 \) </li> <li> Для \( x \geq 2 \): \( y = x^2 - 2x + 2 \) </li> </ul> <li> Найти производные функций на каждом из отрезков: </li> <ul> <li> Для \( y = -4x + 12 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-4x + 12) = -4 \] </li> <li> Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \] </li> </ul> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> <ul> <li> Для \( y = -4x + 12 \): \[ -4 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \] </li> <li> Для \( y = x^2 - 2x + 2 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] Однако \( x = 1 \) не попадает в отрезок \( x \geq 2 \). </li> </ul> <li> Проверить значения функции на концах отрезков и в точке \( x = 2 \): </li> <ul> <li> Для \( x = -1 \): \[ y = -4(-1) + 12 = 4 + 12 = 16 \] </li> <li> Для \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \] </li> <li> Для \( x = 3 \): \[ y = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5 \] </li> </ul> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <ul> <li> Значения функции: \( y(-1) = 16 \), \( y(2) = 2 \), \( y(3) = 5 \) </li> <li> Наибольшее значение: \( 16 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( 2 \) </li> </ul> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 16 \) <br> Наименьшее значение: \( 2 \)