Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=x^{4}-2x^{2}\) на отрезке \([-3;3]\)

Ответ

\underset{[-3;3]}{max} y(x)=63; \underset{[-3;3]}{min} y(x)=-1

Решение № 13266:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^4 - 2x^2 \) на отрезке \([-3; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4x^3 - 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] <li> Получаем три критические точки: </li> \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-3; 3]\): </li> Все критические точки \( x = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = -1 \) попадают в отрезок \([-3; 3]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 = 81 - 18 = 63 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \] \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \] \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \] \[ y(3) = 3^4 - 2(3)^2 = 81 - 18 = 63 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(-3) = 63 \) и \( y(3) = 63 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-1) = -1 \) и \( y(1) = -1 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 63 \) <br> Наименьшее значение: \( -1 \)