№6963

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{x}{8}+\frac{2}{x}\) на отрезке \([1;6]\)

Ответ

\underset{[1;6]}{max} y(x)=2\frac{1}{8}; \underset{[1;6]}{min} y(x)=1

Решение № 6963:

<ol> <li> Найти производную функции \( y = \frac{x}{8} + \frac{2}{x} \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0 \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ \frac{1}{8} = \frac{2}{x^2} \] </li> <li> Умножим обе части уравнения на \( 8x^2 \): \[ x^2 = 16 \] </li> <li> Возьмем корень из обеих сторон: \[ x = \pm 4 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 6]\): \[ x = 4 \quad \text{(попадает в отрезок)} \] \[ x = -4 \quad \text{(не попадает в отрезок)} \] </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{17}{8} \] \[ y(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ y(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ y(1) = \frac{17}{8} = 2.125 \] \[ y(4) = 1 \] \[ y(6) = \frac{13}{12} \approx 1.083 \] </li> <li> Наибольшее значение: \( y(1) = \frac{17}{8} \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y(4) = 1 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{17}{8} \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \)