Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=(x-1)^3+4\), \([-2;1]\).

Ответ

\(y_{наиб}=4\),\(y_{наим}=-23\).

Решение № 43612:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = (x-1)^3 + 4 \) на отрезке \([-2; 1]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( y = (x-1)^3 + 4 \). </li> <li> Найдём значения функции на концах отрезка \([-2; 1]\): \[ y(-2) = (-2-1)^3 + 4 = (-3)^3 + 4 = -27 + 4 = -23 \] \[ y(1) = (1-1)^3 + 4 = 0^3 + 4 = 4 \] </li> <li> Рассмотрим поведение функции внутри отрезка \([-2; 1]\). Функция \( (x-1)^3 \) является кубической функцией, и её график имеет одну точку перегиба. </li> <li> Для кубической функции \( (x-1)^3 \) точка перегиба находится в точке \( x = 1 \), но эта точка не входит в рассматриваемый отрезок \([-2; 1]\). </li> <li> Проверим значения функции в некоторых промежуточных точках, чтобы убедиться, что мы не пропустили экстремумы: \[ y(-1) = (-1-1)^3 + 4 = (-2)^3 + 4 = -8 + 4 = -4 \] \[ y(0) = (0-1)^3 + 4 = (-1)^3 + 4 = -1 + 4 = 3 \] \[ y(0.5) = (0.5-1)^3 + 4 = (-0.5)^3 + 4 = -0.125 + 4 = 3.875 \] </li> <li> Сравним все полученные значения функции: \[ y(-2) = -23, \quad y(-1) = -4, \quad y(0) = 3, \quad y(0.5) = 3.875, \quad y(1) = 4 \] </li> <li> Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-2; 1]\): \[ \text{Наименьшее значение: } y(-2) = -23 \] \[ \text{Наибольшее значение: } y(1) = 4 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 4 \) <br> Наименьшее значение: \( -23 \)