Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения функции \(y= \left\{\begin{matrix} -4x+12, если x<2,\\x^2-2x+2,если x\geq 2 \end{matrix}\right.\) на отрезке: \([-3;0]\).

Ответ

\(y_{наиб}=24\),\(y_{наим}=12\).

Решение № 43628:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases} \) на отрезке \([-3; 0]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию на каждом из интервалов отдельно. </li> <li> Для \( x < 2 \): \[ y = -4x + 12 \] </li> <li> Найдем значения функции на концах отрезка \([-3; 0]\): \[ y(-3) = -4(-3) + 12 = 12 + 12 = 24 \] \[ y(0) = -4(0) + 12 = 12 \] </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ y' = -4 \] Поскольку производная постоянна и отрицательна, критических точек нет. </li> <li> Для \( x \geq 2 \): \[ y = x^2 - 2x + 2 \] </li> <li> Найдем значения функции на концах отрезка \([-3; 0]\): \[ y(2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \] \[ y(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2 \] </li> <li> Найдем производную функции \( y \): \[ y' = 2x - 2 \] </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] </li> <li> Найдем значение функции в критической точке: \[ y(1) = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \] </li> <li> Сравним полученные значения: \[ y(-3) = 24, \quad y(0) = 12, \quad y(2) = 2, \quad y(1) = 1 \] </li> <li> Наибольшее значение: \( y(-3) = 24 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y(1) = 1 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 24 \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \)