№7310

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее значение функции \(y=(2x-1)^{3}(1-0,4x)\)

Ответ

5.4

Решение № 7310:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \] Для удобства, обозначим \( u = (2x - 1)^3 \) и \( v = 1 - 0.4x \). Тогда \( y = u \cdot v \). Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = u'v + uv' \] Найдем производные \( u \) и \( v \): \[ u = (2x - 1)^3 \implies u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2 \] \[ v = 1 - 0.4x \implies v' = -0.4 \] Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу производной произведения: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) + (2x - 1)^3 (-0.4) \] Упростим выражение: \[ y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 = 0 \] Вынесем общий множитель \( (2x - 1)^2 \): \[ (2x - 1)^2 \left[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) \right] = 0 \] Уравнение \( (2x - 1)^2 = 0 \) дает \( x = \frac{1}{2} \). Теперь решим второе уравнение: \[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) = 0 \] Упростим: \[ 6 - 2.4x - 0.8x + 0.4 = 0 \implies 6.4 - 3.2x = 0 \implies x = 2 \] Таким образом, критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках: </li> \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot \frac{1}{2}) = 0 \] \[ y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot 2) = 3^3 \cdot (1 - 0.8) = 27 \cdot 0.2 = 5.4 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции: </li> Наибольшее значение: \( y(2) = 5.4 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 5.4 \)