Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее значение функции \(y=(0,2x+1)^{5}\cdot (5-2x)\) на промежутке\( (-\infty ;0]\)

Ответ

5

Решение № 13608:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (0.2x + 1)^5 \cdot (5 - 2x) \) на промежутке \( (-\infty; 0] \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = (0.2x + 1)^5 \cdot (5 - 2x) \] Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ (0.2x + 1)^5 \right] \cdot (5 - 2x) + (0.2x + 1)^5 \cdot \frac{d}{dx} \left[ (5 - 2x) \right] \] \[ y' = 5(0.2x + 1)^4 \cdot 0.2 \cdot (5 - 2x) + (0.2x + 1)^5 \cdot (-2) \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ (0.2 \cdot 5 - 0.2 \cdot 2x) + (0.2x + 1) \cdot (-2) \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ 1 - 0.4x - 2(0.2x + 1) \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ 1 - 0.4x - 0.4x - 2 \right] \] \[ y' = (0.2x + 1)^4 \left[ -1 - 0.8x \right] \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ (0.2x + 1)^4 \left[ -1 - 0.8x \right] = 0 \] Это уравнение равно нулю, если либо \( (0.2x + 1)^4 = 0 \), либо \( -1 - 0.8x = 0 \). Решим каждое из них: \[ (0.2x + 1)^4 = 0 \implies 0.2x + 1 = 0 \implies x = -5 \] \[ -1 - 0.8x = 0 \implies 0.8x = -1 \implies x = -\frac{5}{4} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (-\infty; 0] \): </li> Обе критические точки \( x = -5 \) и \( x = -\frac{5}{4} \) попадают в промежуток \( (-\infty; 0] \). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на конце промежутка: </li> \[ y(-5) = (0.2(-5) + 1)^5 \cdot (5 - 2(-5)) = (0)^5 \cdot 15 = 0 \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(0.2\left(-\frac{5}{4}\right) + 1\right)^5 \cdot \left(5 - 2\left(-\frac{5}{4}\right)\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4} + 1\right)^5 \cdot \left(5 + \frac{5}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{15}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \left(\frac{243}{1024}\right) \cdot \left(\frac{15}{2}\right) \] \[ y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{243 \cdot 15}{1024 \cdot 2} = \frac{3645}{2048} \] \[ y(0) = (0.2(0) + 1)^5 \cdot (5 - 2(0)) = 1^5 \cdot 5 = 5 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на промежутке: </li> Наибольшее значение: \( y(0) = 5 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 5 \)