№3438

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции \(y=(5-2x)^{3}(5-4x)\) на промежутке\( (2; +\infty]\)

Ответ

-3

Решение № 3438:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \) на промежутке \( (2; +\infty] \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \] Применим правило произведения для нахождения производной: \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(5 - 4x) + (5 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}(5 - 2x)^3 \] \[ y' = (5 - 2x)^3 \cdot (-4) + (5 - 4x) \cdot 3(5 - 2x)^2 \cdot (-2) \] \[ y' = -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 = 0 \] Вынесем \( (5 - 2x)^2 \) за скобки: \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -20 + 8x - 30 + 24x \right] = 0 \] \[ (5 - 2x)^2 \left[ -50 + 32x \right] = 0 \] Решим уравнение \( (5 - 2x)^2 = 0 \): \[ 5 - 2x = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] Решим уравнение \( -50 + 32x = 0 \): \[ 32x = 50 \implies x = \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (2; +\infty] \): </li> \[ x = \frac{5}{2} \approx 2.5 \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{25}{16} \approx 1.5625 \quad \text{(не попадает)} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка: </li> \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(5 - 2 \cdot \frac{5}{2}\right)^3 \left(5 - 4 \cdot \frac{5}{2}\right) = (5 - 5)^3 (5 - 10) = 0^3 (-5) = 0 \] \[ y(2) = (5 - 2 \cdot 2)^3 (5 - 4 \cdot 2) = (5 - 4)^3 (5 - 8) = 1^3 (-3) = -3 \] \[ y(+\infty) = (5 - 2 \cdot \infty)^3 (5 - 4 \cdot \infty) \rightarrow -\infty \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на промежутке: </li> Наименьшее значение: \( y(+\infty) = -\infty \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( -\infty \)