№13257

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-2x^{3}-9x^{2}+12\) на отрезке \([0;3]\)

Ответ

\underset{[0;3]}{max} y(x)=9; \underset{[0;3]}{min} y(x)=0

Решение № 13255:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 9x^2 + 12 \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 + 12) = -6x^2 - 18x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -6x^2 - 18x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ -6x(x + 3) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 3]\): </li> Критическая точка \( x = -3 \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = 0 \) попадает. <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = -2(0)^3 - 9(0)^2 + 12 = 12 \] \[ y(3) = -2(3)^3 - 9(3)^2 + 12 = -2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 12 = -54 - 81 + 12 = -123 \] \[ y(-3) \quad \text{(не попадает в отрезок)} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <br> Наибольшее значение: \( y(0) = 12 \) <br> Наименьшее значение: \( y(3) = -123 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 12 \) <br> Наименьшее значение: \( -123 \)